同济大学 2026年数学分析第1题
📝 题目
1．（10分）判断极限
$$
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{\sin \left(x+y^{2}\right)+\tan \left(x^{2}+y\right)-x-y}{\arcsin \left(x^{2}+y^{2}\right)}
$$
是否存在，若存在求出极限，若不存在，说明理由．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：初步观察与直接代入
当 $(x,y)\to(0,0)$ 时，分子 $\sin(x+y^2)+\tan(x^2+y)-x-y$ 和分母 $\arcsin(x^2+y^2)$ 都趋向于0，因此这是一个 $\frac{0}{0}$ 型未定式，需要进一步分析。
提示：注意直接代入会得到 $\frac{0}{0}$，不能直接得出极限值，必须展开或使用其他方法。
步骤 2/6
目标：对分子进行泰勒展开
将分子中的两项分别展开：
$\sin(x+y^2) = (x+y^2) - \frac{(x+y^2)^3}{6} + O((x+y^2)^5)$，
$\tan(x^2+y) = (x^2+y) + \frac{(x^2+y)^3}{3} + O((x^2+y)^5)$。
代入分子得：
$[x+y^2 - \frac{(x+y^2)^3}{6} + \cdots] + [x^2+y + \frac{(x^2+y)^3}{3} + \cdots] - x - y$。
线性项 $x$ 与 $-x$ 抵消，$y$ 与 $-y$ 抵消，剩余 $x^2 + y^2$ 加上三次及更高阶项。
公式：\sin(x+y^2) = x+y^2 - \frac{(x+y^2)^3}{6} + O((x+y^2)^5), \quad \tan(x^2+y) = x^2+y + \frac{(x^2+y)^3}{3} + O((x^2+y)^5)
提示：展开时注意保留到足够低阶，确保主项不被遗漏。线性项抵消后，最低阶项是二次项。
步骤 3/6
目标：检查高阶项的影响
三次项如 $-\frac{x^3}{6}$（来自 $\sin$ 展开）和 $\frac{y^3}{3}$（来自 $\tan$ 展开）相对于二次项 $x^2+y^2$ 是更高阶小量，当 $(x,y)\to(0,0)$ 时趋于0，不影响主项。因此分子主部为 $x^2+y^2 + o(x^2+y^2)$。
公式：\text{分子} = x^2 + y^2 + o(x^2+y^2)
提示：注意 $x^3$ 和 $y^3$ 是三次项，而 $x^2+y^2$ 是二次项，在 $(0,0)$ 附近二次项占主导。
步骤 4/6
目标：对分母进行展开
当 $t\to0$ 时，$\arcsin t \sim t$，更精确地：$\arcsin(x^2+y^2) = (x^2+y^2) + \frac{(x^2+y^2)^3}{6} + O((x^2+y^2)^5)$。因此分母主部也是 $x^2+y^2$。
公式：\arcsin(x^2+y^2) = x^2+y^2 + O((x^2+y^2)^3)
提示：分母的展开中，主项系数为1，与分子主项系数相同。
步骤 5/6
目标：求极限
将分子和分母的主部代入极限：
$$
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^2+y^2 + o(x^2+y^2)}{x^2+y^2 + o(x^2+y^2)} = 1.
$$
因为分子和分母的主项相同且系数均为1，高阶项不影响极限值。
公式：\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^2+y^2}{x^2+y^2} = 1
提示：注意这里 $o(x^2+y^2)$ 表示比 $x^2+y^2$ 更高阶的无穷小，比值趋于0。
步骤 6/6
目标：判断极限是否存在
由于无论沿任何路径趋近 $(0,0)$，分子和分母的主项比值都趋于1，且高阶项不影响结果，因此极限存在且为1。
提示：如果分子分母主项不同或系数不同，极限可能不存在或为其他值，这里主项相同且系数为1，故极限为1。
步骤 7/7
目标：得出结论
极限存在且等于1。
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