哈尔滨工程大学 2025年数学分析第2题
📝 题目
2、证明：对任意的 $\displaystyle x>0$ ，有 $\displaystyle 0<\frac{1}{\ln (1+x)}-\frac{1}{x}<1$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：定义函数并明确要证明的不等式
考虑函数 $f(x) = \frac{1}{\ln(1+x)} - \frac{1}{x}$，其中 $x>0$。需要证明 $0 < f(x) < 1$。
提示：注意定义域 $x>0$，确保对数有意义且分母不为零。
步骤 2/6
目标：证明下界 $f(x) > 0$
要证 $f(x) > 0$，即 $\frac{1}{\ln(1+x)} > \frac{1}{x}$，等价于 $x > \ln(1+x)$。
提示：不等式两边乘以正数 $x \ln(1+x)$ 时注意符号不变。
步骤 3/6
目标：构造函数 $g(x)$ 并利用单调性证明 $x > \ln(1+x)$
令 $g(x) = x - \ln(1+x)$，则 $g'(x) = 1 - \frac{1}{1+x} = \frac{x}{1+x} > 0$（$x>0$），所以 $g(x)$ 严格递增。又 $g(0)=0$，故 $x>0$ 时 $g(x)>0$，即 $x > \ln(1+x)$，从而 $f(x)>0$。
公式：$g'(x) = \frac{x}{1+x}$
提示：注意 $g(0)=0$ 是边界条件，单调递增保证 $x>0$ 时 $g(x)>0$。
步骤 4/6
目标：证明上界 $f(x) < 1$ 的第一步：等价变形
要证 $f(x) < 1$，即 $\frac{1}{\ln(1+x)} - \frac{1}{x} < 1$，移项得 $\frac{1}{\ln(1+x)} < 1 + \frac{1}{x} = \frac{x+1}{x}$，即 $\frac{x}{\ln(1+x)} < x+1$，等价于 $\frac{x}{x+1} < \ln(1+x)$。
提示：每一步变形要确保等价，注意 $\ln(1+x)>0$ 且 $x>0$。
步骤 5/6
目标：构造函数 $h(x)$ 并利用单调性证明 $\ln(1+x) > \frac{x}{x+1}$
令 $h(x) = \ln(1+x) - \frac{x}{x+1}$，则 $h'(x) = \frac{1}{1+x} - \frac{1}{(1+x)^2} = \frac{x}{(1+x)^2} > 0$（$x>0$），所以 $h(x)$ 严格递增。又 $h(0)=0$，故 $x>0$ 时 $h(x)>0$，即 $\ln(1+x) > \frac{x}{x+1}$，从而 $f(x)<1$。
公式：$h'(x) = \frac{x}{(1+x)^2}$
提示：求导时注意 $\frac{x}{x+1}$ 的导数公式，避免计算错误。
步骤 6/6
目标：总结结论
综上，对任意 $x>0$，有 $0 < \frac{1}{\ln(1+x)} - \frac{1}{x} < 1$。
提示：确保两个不等式方向正确，且等号不成立。
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