太原理工大学 2026年数学分析第11题
📝 题目
11．数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 满足 $\displaystyle a_{0}=1, a_{1}=1, a_{n}=a_{n-1}+2 a_{n-2}(n \geq 2)$ ．
（1）证明：$\displaystyle \left(\frac{5}{3}\right)^{n-1} \leq a_{n} \leq 3^{n-1}$ ．
（2）证明：$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\ln a_{n}}$ 发散，$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{a_{n}}$ 收敛。
（3）若 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n}}{a_{n+1}}$ 存在，求幂级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 的收敛半径以及收玫区间内的和函数．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：求数列通项公式
由递推关系 $a_n = a_{n-1} + 2a_{n-2}$，特征方程为 $r^2 - r - 2 = 0$，解得 $r=2$ 或 $r=-1$。故通解为 $a_n = A \cdot 2^n + B \cdot (-1)^n$。代入 $a_0=1$，$a_1=1$ 得 $A+B=1$，$2A-B=1$，解得 $A=\frac{2}{3}$，$B=\frac{1}{3}$。因此 $a_n = \frac{2}{3} \cdot 2^n + \frac{1}{3} \cdot (-1)^n$。
公式：a_n = \frac{2}{3} \cdot 2^n + \frac{1}{3} \cdot (-1)^n
提示：注意特征方程的解和初始条件的代入，不要遗漏负号。
步骤 2/7
目标：证明左边不等式 $(\frac{5}{3})^{n-1} \leq a_n$
由通项，$a_n \geq \frac{2}{3} \cdot 2^n - \frac{1}{3} = \frac{2^{n+1}-1}{3}$。要证 $\frac{2^{n+1}-1}{3} \geq (\frac{5}{3})^{n-1}$，即 $2^{n+1}-1 \geq 3 \cdot (\frac{5}{3})^{n-1}$。两边乘以 $3^{n-1}$ 得 $(2^{n+1}-1)3^{n-1} \geq 3 \cdot 5^{n-1}$。$n=1$ 时等号成立；$n=2$ 时左边 $21$，右边 $15$，成立。归纳可证对 $n \geq 2$ 成立。
公式：a_n \geq \frac{2^{n+1}-1}{3} \geq \left(\frac{5}{3}\right)^{n-1}
提示：归纳法或直接比较指数增长速度，注意 $n=1$ 单独验证。
步骤 3/7
目标：证明右边不等式 $a_n \leq 3^{n-1}$
由通项，$a_n \leq \frac{2}{3} \cdot 2^n + \frac{1}{3} = \frac{2^{n+1}+1}{3}$。要证 $\frac{2^{n+1}+1}{3} \leq 3^{n-1}$，即 $2^{n+1}+1 \leq 3^n$。$n=1$ 时左边 $5$，右边 $3$？注意 $n=1$ 时 $a_1=1=3^{0}$，等号成立。$n=2$ 时左边 $9$，右边 $9$，成立。归纳：假设 $2^{n+1}+1 \leq 3^n$，则 $2^{n+2}+1 = 2 \cdot 2^{n+1}+1 \leq 2(3^n-1)+1 = 2 \cdot 3^n -1 \leq 3^{n+1}$，故成立。
公式：a_n \leq \frac{2^{n+1}+1}{3} \leq 3^{n-1}
提示：注意 $n=1$ 时右边为 $3^0=1$，直接验证即可。
步骤 4/7
目标：判断级数 $\sum \frac{1}{\ln a_n}$ 的敛散性
由（1）知 $a_n \leq 3^{n-1}$，故 $\ln a_n \leq (n-1)\ln 3$，从而 $\frac{1}{\ln a_n} \geq \frac{1}{(n-1)\ln 3}$。调和级数 $\sum \frac{1}{n-1}$ 发散，由比较判别法知 $\sum \frac{1}{\ln a_n}$ 发散。
公式：\frac{1}{\ln a_n} \geq \frac{1}{(n-1)\ln 3}
提示：注意 $\ln a_n$ 为正，且 $n=1$ 时 $\ln a_1=0$，级数从 $n=2$ 开始讨论，不影响发散性。
步骤 5/7
目标：判断级数 $\sum \frac{1}{a_n}$ 的敛散性
由（1）知 $a_n \geq (\frac{5}{3})^{n-1}$，故 $\frac{1}{a_n} \leq (\frac{3}{5})^{n-1}$。等比级数 $\sum (\frac{3}{5})^{n-1}$ 公比 $\frac{3}{5}<1$，收敛，由比较判别法知 $\sum \frac{1}{a_n}$ 收敛。
公式：\frac{1}{a_n} \leq \left(\frac{3}{5}\right)^{n-1}
提示：注意不等式方向，比较时需保证通项非负。
步骤 6/7
目标：求极限 $\lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{a_{n+1}}$ 及收敛半径
由通项，$\frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{2}{3}2^n + \frac{1}{3}(-1)^n}{\frac{2}{3}2^{n+1} + \frac{1}{3}(-1)^{n+1}}$。当 $n\to\infty$，主要项为 $2^n$，故极限为 $\frac{2^n/3}{2^{n+1}/3} = \frac{1}{2}$。因此收敛半径 $R = \lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{1}{2}$。
公式：R = \frac{1}{2}
提示：极限存在条件已由题目给出，直接计算即可。
步骤 7/7
目标：求幂级数的和函数
设 $S(x) = \sum_{n=1}^\infty a_n x^n$，由递推 $a_n = a_{n-1} + 2a_{n-2}$ 对 $n\geq 2$，两边乘以 $x^n$ 并求和：$\sum_{n=2}^\infty a_n x^n = x\sum_{n=2}^\infty a_{n-1}x^{n-1} + 2x^2\sum_{n=2}^\infty a_{n-2}x^{n-2}$，即 $S(x) - a_1 x = x S(x) + 2x^2 S(x)$。代入 $a_1=1$ 得 $S(x) - x = (x+2x^2)S(x)$，整理得 $S(x)(1 - x - 2x^2) = x$，故 $S(x) = \frac{x}{1 - x - 2x^2}$。分母因式分解为 $(1-2x)(1+x)$，收敛区间为 $|x|<\frac{1}{2}$。
公式：S(x) = \frac{x}{1 - x - 2x^2}
提示：注意求和从 $n=1$ 开始，递推关系需从 $n=2$ 起用，并正确写出 $S(x)$ 的表达式。
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