太原理工大学 2026年数学分析第6题
📝 题目
6．计算第二型曲面积分
$$
\iint_{S} 2\left(1-x^{2}\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+8 x y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x-4 x z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y .
$$
其中 $S$ 是 $\displaystyle x=5^{y}(0 \leq y \leq 1)$ 绕 $x$ 轴形成的曲面的外侧．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：分析曲面与补面
曲面 $S$ 是曲线 $x=5^y$（$0\leq y\leq 1$）绕 $x$ 轴旋转形成的曲面外侧。该曲面为开曲面，需补上两个端面构成封闭曲面。左端面对应 $y=0$，即点 $(1,0,0)$，面积为 $0$；右端面对应 $y=1$，即圆盘 $x=5,\ y^2+z^2\leq 1$，法向指向 $x$ 轴正方向。设封闭曲面为 $\Sigma = S \cup S_{\text{右}}$，方向外侧。
提示：注意左端面退化为点，面积为零，可忽略。
步骤 2/6
目标：应用高斯公式于封闭曲面
由高斯公式，
$$
\iint_{\Sigma} 2(1-x^2) \mathrm{d}y\mathrm{d}z + 8xy \mathrm{d}z\mathrm{d}x - 4xz \mathrm{d}x\mathrm{d}y = \iiint_V \left( \frac{\partial}{\partial x}(2(1-x^2)) + \frac{\partial}{\partial y}(8xy) + \frac{\partial}{\partial z}(-4xz) \right) \mathrm{d}V,
$$
其中 $V$ 是 $\Sigma$ 所围区域。
公式：高斯公式：$\iint_{\partial V} \mathbf{F}\cdot \mathrm{d}\mathbf{S} = \iiint_V \nabla\cdot\mathbf{F}\,\mathrm{d}V$
提示：注意高斯公式要求曲面外侧，这里 $\Sigma$ 方向为外侧。
步骤 3/6
目标：计算散度
计算各偏导数：
$$
\frac{\partial}{\partial x}(2(1-x^2)) = -4x,\quad \frac{\partial}{\partial y}(8xy) = 8x,\quad \frac{\partial}{\partial z}(-4xz) = -4x.
$$
散度和为：
$$
-4x + 8x - 4x = 0.
$$
因此高斯公式积分为 $0$。
提示：散度为零，高斯公式结果为 $0$。
步骤 4/6
目标：计算右端面上的积分
右端面 $S_{\text{右}}$：$x=5$，$y^2+z^2\leq 1$，外侧法向为 $(1,0,0)$。则 $\mathrm{d}y\mathrm{d}z = \mathrm{d}S$，$\mathrm{d}z\mathrm{d}x = 0$，$\mathrm{d}x\mathrm{d}y = 0$。积分：
$$
\iint_{S_{\text{右}}} 2(1-x^2) \mathrm{d}y\mathrm{d}z = \iint_{y^2+z^2\leq 1} 2(1-25) \mathrm{d}y\mathrm{d}z = -48 \cdot \pi \cdot 1^2 = -48\pi.
$$
公式：第二型曲面积分投影公式：$\iint_S P\,\mathrm{d}y\mathrm{d}z = \iint_{D_{yz}} P \,\mathrm{d}y\mathrm{d}z$，其中法向与 $x$ 轴正向夹角余弦为正。
提示：注意法向方向决定投影的正负，这里法向与 $x$ 轴正向一致，故 $\mathrm{d}y\mathrm{d}z$ 取正。
步骤 5/6
目标：由封闭曲面积分反推原积分
由高斯公式，封闭曲面 $\Sigma$ 上的积分为 $0$，即
$$
\iint_S + \iint_{S_{\text{右}}} = 0,
$$
所以
$$
\iint_S = -\iint_{S_{\text{右}}} = -(-48\pi) = 48\pi.
$$
提示：注意符号：原积分等于封闭曲面积分减去补面积分，但这里封闭曲面积分 $0$，故原积分等于负的补面积分。
步骤 6/6
目标：得出最终答案
因此，原第二型曲面积分的值为 $48\pi$。
提示：最终答案需化简为最简形式。
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