太原理工大学 2026年数学分析第9题
📝 题目
9．设 $\displaystyle f(x)$ 是 $\displaystyle 2 \pi$ 为周期的函数，$\displaystyle f(x)=x(\pi-x), x \in[0, \pi]$ ．
（1）求 $\displaystyle f(x)$ 的余弦级数和正弦级数展开式．
（2）求 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}$ 和 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{(2 n-1)^{3}}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：计算余弦级数的系数 a₀
对函数进行偶延拓，余弦级数形式为 $f(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty a_n \cos(nx)$，其中 $a_n = \frac{2}{\pi} \int_0^\pi f(x) \cos(nx) \, dx$。先计算 $a_0$：
$$a_0 = \frac{2}{\pi} \int_0^\pi x(\pi - x) \, dx = \frac{2}{\pi} \int_0^\pi (\pi x - x^2) \, dx$$
计算积分：
$$\int_0^\pi (\pi x - x^2) \, dx = \left[ \frac{\pi x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_0^\pi = \frac{\pi^3}{2} - \frac{\pi^3}{3} = \frac{\pi^3}{6}$$
因此 $a_0 = \frac{2}{\pi} \cdot \frac{\pi^3}{6} = \frac{\pi^2}{3}$。
公式：$a_0 = \frac{2}{\pi} \int_0^\pi f(x) \, dx$
提示：注意 $a_0$ 的公式中分母是 $\pi$ 而不是 $2\pi$，因为周期为 $2\pi$ 且做偶延拓后积分区间为 $[0,\pi]$。
步骤 2/7
目标：计算余弦级数的系数 a_n (n≥1)
计算 $a_n = \frac{2}{\pi} \int_0^\pi (\pi x - x^2) \cos(nx) \, dx$。先分别计算两个积分：
$$I_1 = \int_0^\pi x \cos(nx) \, dx = -\frac{1 - (-1)^n}{n^2}$$
$$I_2 = \int_0^\pi x^2 \cos(nx) \, dx = \frac{2\pi (-1)^n}{n^2}$$
则
$$\int_0^\pi (\pi x - x^2) \cos(nx) \, dx = \pi I_1 - I_2 = -\frac{\pi(1 - (-1)^n)}{n^2} - \frac{2\pi (-1)^n}{n^2} = -\frac{\pi}{n^2} [1 + (-1)^n]$$
因此
$$a_n = \frac{2}{\pi} \cdot \left( -\frac{\pi}{n^2} (1+(-1)^n) \right) = -\frac{2(1+(-1)^n)}{n^2}$$
当 $n$ 为奇数时 $a_n=0$；当 $n$ 为偶数时，令 $n=2k$，得 $a_{2k} = -\frac{1}{k^2}$。
公式：$a_n = \frac{2}{\pi} \int_0^\pi f(x) \cos(nx) \, dx$
提示：分部积分时注意符号，$\sin(n\pi)=0$ 和 $\cos(n\pi)=(-1)^n$ 是常用简化。
步骤 3/7
目标：写出余弦级数展开式
将 $a_0$ 和 $a_n$ 代入余弦级数形式：
$$f(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty a_n \cos(nx) = \frac{\pi^2}{6} + \sum_{k=1}^\infty \left( -\frac{1}{k^2} \right) \cos(2k x)$$
即
$$f(x) \sim \frac{\pi^2}{6} - \sum_{k=1}^\infty \frac{\cos(2k x)}{k^2}$$
公式：$f(x) \sim \frac{\pi^2}{6} - \sum_{k=1}^\infty \frac{\cos(2k x)}{k^2}$
提示：注意只有偶数项非零，所以用 $k$ 代替 $n/2$。
步骤 4/7
目标：计算正弦级数的系数 b_n
对函数进行奇延拓，正弦级数形式为 $f(x) \sim \sum_{n=1}^\infty b_n \sin(nx)$，其中 $b_n = \frac{2}{\pi} \int_0^\pi x(\pi - x) \sin(nx) \, dx$。计算积分：
$$K_1 = \int_0^\pi x \sin(nx) \, dx = -\frac{\pi (-1)^n}{n}$$
$$K_2 = \int_0^\pi x^2 \sin(nx) \, dx = -\frac{\pi^2 (-1)^n}{n} - \frac{2(1 - (-1)^n)}{n^3}$$
则
$$\pi K_1 - K_2 = \pi \left( -\frac{\pi (-1)^n}{n} \right) - \left( -\frac{\pi^2 (-1)^n}{n} - \frac{2(1 - (-1)^n)}{n^3} \right) = \frac{2(1 - (-1)^n)}{n^3}$$
因此
$$b_n = \frac{2}{\pi} \cdot \frac{2(1 - (-1)^n)}{n^3} = \frac{4(1 - (-1)^n)}{\pi n^3}$$
当 $n$ 为偶数时 $b_n=0$；当 $n$ 为奇数时，令 $n=2k-1$，得 $b_{2k-1} = \frac{8}{\pi (2k-1)^3}$。
公式：$b_n = \frac{2}{\pi} \int_0^\pi f(x) \sin(nx) \, dx$
提示：注意 $K_2$ 的分部积分中第二项符号，以及 $\sin(n\pi)=0$ 的简化。
步骤 5/7
目标：写出正弦级数展开式
代入 $b_n$ 得正弦级数：
$$f(x) \sim \sum_{n=1}^\infty b_n \sin(nx) = \sum_{k=1}^\infty \frac{8}{\pi (2k-1)^3} \sin((2k-1)x)$$
即
$$f(x) \sim \frac{8}{\pi} \sum_{k=1}^\infty \frac{\sin((2k-1)x)}{(2k-1)^3}$$
公式：$f(x) \sim \frac{8}{\pi} \sum_{k=1}^\infty \frac{\sin((2k-1)x)}{(2k-1)^3}$
提示：只有奇数项非零，注意下标变换。
步骤 6/7
目标：利用余弦级数求 ∑ 1/n²
在余弦级数展开式中，令 $x=0$，则 $f(0)=0$，且 $\cos(2k\cdot 0)=1$，得到：
$$0 = \frac{\pi^2}{6} - \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^2}$$
因此
$$\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^2} = \frac{\pi^2}{6}$$
公式：$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}$
提示：注意 $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续，且级数收敛到函数值。
步骤 7/7
目标：利用正弦级数求 ∑ (-1)^{n-1}/(2n-1)³
在正弦级数展开式中，令 $x = \frac{\pi}{2}$，则 $f\left(\frac{\pi}{2}\right) = \frac{\pi}{2} \left(\pi - \frac{\pi}{2}\right) = \frac{\pi^2}{4}$，且 $\sin\left((2k-1)\frac{\pi}{2}\right) = (-1)^{k-1}$，得到：
$$\frac{\pi^2}{4} = \frac{8}{\pi} \sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k-1}}{(2k-1)^3}$$
解得
$$\sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k-1}}{(2k-1)^3} = \frac{\pi^3}{32}$$
公式：$\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{(2n-1)^3} = \frac{\pi^3}{32}$
提示：注意 $\sin((2k-1)\pi/2)$ 的符号规律，以及 $f(\pi/2)$ 的计算。
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