安徽师范大学 2021年数学分析第2题
📝 题目
2．设 $\displaystyle a_{n}=1+\frac{\dot{1}}{2^{p}}+\cdots+\frac{1}{n^{p}}$ ，证明：当 $\displaystyle p>1$ 时 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 收敛；当 $\displaystyle p \leq 1$ 时 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 发散．（15分）
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：分析数列单调性
由于 $a_n = 1 + \frac{1}{2^p} + \cdots + \frac{1}{n^p}$，每一项 $\frac{1}{k^p} > 0$，所以 $a_{n+1} = a_n + \frac{1}{(n+1)^p} > a_n$，因此 $\{a_n\}$ 是严格单调递增数列。
提示：注意单调递增的证明只需比较相邻项。
步骤 2/7
目标：当 p>1 时，利用积分判别法估计上界
考虑函数 $f(x) = \frac{1}{x^p}$，在 $[1, \infty)$ 上非负且单调递减。由积分判别法，有 $\sum_{k=2}^n \frac{1}{k^p} \leq \int_1^n \frac{1}{x^p} dx$，因此 $a_n = 1 + \sum_{k=2}^n \frac{1}{k^p} \leq 1 + \int_1^n \frac{1}{x^p} dx$。
公式：积分判别法：$\sum_{k=2}^n f(k) \leq \int_1^n f(x) dx$
提示：注意积分下限从1开始，且不等式方向。
步骤 3/7
目标：计算积分并证明有界
计算积分：$\int_1^n \frac{1}{x^p} dx = \left. \frac{x^{1-p}}{1-p} \right|_1^n = \frac{n^{1-p} - 1}{1-p}$。当 $p>1$ 时，$1-p<0$，所以 $n^{1-p} \to 0$ 当 $n \to \infty$，因此 $\int_1^\infty \frac{1}{x^p} dx = \frac{1}{p-1} < \infty$。于是 $a_n \leq 1 + \frac{1}{p-1}$，即 $\{a_n\}$ 有上界。
公式：$\int_1^\infty \frac{1}{x^p} dx = \frac{1}{p-1}$ 当 $p>1$
提示：注意 $p>1$ 时 $1-p$ 为负，积分收敛。
步骤 4/7
目标：由单调有界定理得收敛
由于 $\{a_n\}$ 单调递增且有上界，根据单调有界定理，$\{a_n\}$ 收敛。
提示：单调有界定理是数列收敛的充分条件。
步骤 5/7
目标：当 p=1 时，调和级数发散
当 $p=1$ 时，$a_n = 1 + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{n}$ 是调和级数的部分和。已知调和级数发散，因此 $\{a_n\}$ 发散。
提示：调和级数发散是经典结论，可直接引用。
步骤 6/7
目标：当 p<1 时，与调和级数比较
当 $p<1$ 时，对任意 $k \geq 1$，有 $k^p \leq k$，从而 $\frac{1}{k^p} \geq \frac{1}{k}$。因此 $a_n \geq 1 + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{n}$，而调和级数发散，故 $a_n \to \infty$，即 $\{a_n\}$ 发散。
公式：比较判别法：$\frac{1}{k^p} \geq \frac{1}{k}$ 当 $p<1$
提示：注意不等式方向，发散性由下界保证。
步骤 7/7
目标：总结结论
综上所述，当 $p>1$ 时，$\{a_n\}$ 收敛；当 $p \leq 1$ 时，$\{a_n\}$ 发散。
提示：注意 $p=1$ 和 $p<1$ 都发散，但证明方法略有不同。
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