安徽师范大学 2021年数学分析第4题
📝 题目
4．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b](a<b)$ 上连续，且
$$
\int_{a}^{b} x^{k} f(x) d x=0 \quad(k=0,1, \cdots, n),
$$
证明：函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 内至少有 $\displaystyle n+1$ 个不同零点．（15 分）
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：反证法假设
假设 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 内至多有 $n$ 个不同零点。则存在多项式 $P(x)$ 使得 $P(x)f(x)$ 在 $(a,b)$ 内不变号，且 $P(x)$ 的次数不超过 $n$。
提示：注意零点重数：偶数重零点不影响符号，可忽略；奇数重零点需保留。
步骤 2/5
目标：构造多项式
设 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 内的零点为 $x_1, x_2, \dots, x_m$，其中 $m \leq n$，且每个零点均为奇数重。令 $P(x) = \prod_{i=1}^m (x - x_i)$，则 $P(x)$ 的次数 $m \leq n$，且 $P(x)f(x)$ 在 $(a,b)$ 内不变号。
公式：P(x) = \prod_{i=1}^m (x - x_i)
提示：若 $f(x)$ 无零点，则取 $P(x)=1$，此时 $P(x)f(x)=f(x)$ 不变号。
步骤 3/5
目标：利用已知条件
由已知条件 $\int_a^b x^k f(x) dx = 0$ 对 $k=0,1,\dots,n$ 成立，特别地，对 $k=0,1,\dots,m$ 成立。因此，$\int_a^b P(x) f(x) dx = 0$，因为 $P(x)$ 是次数不超过 $m$ 的多项式，可表示为 $x^k$ 的线性组合。
公式：\int_a^b P(x) f(x) dx = 0
提示：注意 $P(x)$ 的次数 $m \leq n$，所以 $P(x)$ 的每一项 $x^k$ 都满足积分条件。
步骤 4/5
目标：推导矛盾
由于 $P(x)f(x)$ 在 $(a,b)$ 内不变号且连续，若 $\int_a^b P(x)f(x) dx = 0$，则必有 $P(x)f(x) \equiv 0$ 在 $[a,b]$ 上成立。从而 $f(x) \equiv 0$，这与 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 内至多有 $n$ 个零点的假设矛盾（因为 $f(x)$ 恒为零时有无限多个零点）。
提示：连续函数若在区间上不变号且积分为零，则必恒为零。
步骤 5/5
目标：结论
因此假设不成立，$f(x)$ 在 $(a,b)$ 内至少有 $n+1$ 个不同零点。
提示：注意结论是“至少 $n+1$ 个”，而不是“恰好 $n+1$ 个”。
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