安徽师范大学 2021年数学分析第7题
📝 题目
7．举一个二元函数 $\displaystyle f(x, y)$ 使之满足在某点对每一个自变量都连续，但在该点不连续，并给予证明．（10 分）
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：构造二元函数
构造函数 $f(x,y) = \begin{cases} \frac{xy}{x^2+y^2}, & (x,y) \neq (0,0) \\ 0, & (x,y) = (0,0) \end{cases}$。
提示：注意分段函数在原点处的定义要单独给出。
步骤 2/5
目标：证明对每个自变量连续
固定 $y=0$，则 $f(x,0)=0$（因为 $xy=0$），所以 $\lim_{x\to 0} f(x,0)=0=f(0,0)$，故在 $x=0$ 处连续。固定 $x=0$，则 $f(0,y)=0$，同理在 $y=0$ 处连续。
公式：$\lim_{x\to 0} f(x,0)=0$
提示：注意固定一个变量时，另一个变量趋于0，但函数值恒为0，因此极限存在且等于函数值。
步骤 3/5
目标：证明在原点不连续
考虑路径 $y=kx$，其中 $k$ 为常数。代入得 $f(x,kx)=\frac{x\cdot kx}{x^2+(kx)^2}=\frac{kx^2}{x^2(1+k^2)}=\frac{k}{1+k^2}$。当 $(x,y)\to(0,0)$ 时，该极限依赖于 $k$。
公式：$f(x,kx)=\frac{k}{1+k^2}$
提示：路径选择要简单，常用直线 $y=kx$。
步骤 4/5
目标：说明极限不存在
取 $k=0$，则极限为 $0$；取 $k=1$，则极限为 $\frac{1}{2}$。不同路径得到不同极限，因此 $\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)$ 不存在，故 $f(x,y)$ 在 $(0,0)$ 处不连续。
提示：只需找到两个不同极限的路径即可证明极限不存在。
步骤 5/5
目标：总结
该函数在 $(0,0)$ 处对每个自变量连续，但作为二元函数不连续，满足题目要求。
提示：注意区分“对每个自变量连续”和“作为二元函数连续”的概念。
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