山东大学 2026年数学分析第5题
📝 题目
5．已知 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,2 \pi]$ 上连续，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{2 \pi} f(x)|\sin n x| \mathrm{d} x=\frac{2}{\pi} \int_{0}^{2 \pi} f(x) \mathrm{d} x$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：理解问题与思路
已知 \( f(x) \) 在 \([0, 2\pi]\) 上连续，要证明极限等式。观察 \(|\sin(nx)|\) 的周期为 \(\pi/n\)，当 \(n\) 很大时振荡剧烈。经典技巧是将区间划分为许多长度为 \(\pi/n\) 的小区间，利用 \(f\) 的连续性在每个小区间上近似为常数，并计算 \(|\sin(nx)|\) 的平均值。
公式：\lim_{n \to \infty} \int_0^{2\pi} f(x) |\sin(nx)| \, dx = \frac{2}{\pi} \int_0^{2\pi} f(x) \, dx
提示：注意绝对值正弦函数的周期是 \(\pi\) 而非 \(2\pi\)，这是解题的关键。
步骤 2/6
目标：计算 \(|\sin t|\) 在一个周期上的平均值
计算 \(|\sin t|\) 在 \([0, \pi]\) 上的积分：
\[
\int_0^\pi |\sin t| \, dt = \int_0^\pi \sin t \, dt = [-\cos t]_0^\pi = 2.
\]
因此在一个周期长度 \(\pi\) 上的平均值为：
\[
\frac{1}{\pi} \int_0^\pi |\sin t| \, dt = \frac{2}{\pi}.
\]
公式：\int_0^\pi |\sin t| \, dt = 2, \quad \frac{1}{\pi} \int_0^\pi |\sin t| \, dt = \frac{2}{\pi}
提示：这个平均值 \(2/\pi\) 将出现在最终结果中，是证明的核心常数。
步骤 3/6
目标：将积分区间分割成 \(2n\) 个小区间
将 \([0, 2\pi]\) 分成 \(2n\) 个长度为 \(\pi/n\) 的小区间，分点为：
\[
x_k = \frac{k\pi}{n}, \quad k = 0, 1, \dots, 2n.
\]
原积分可写为：
\[
\int_0^{2\pi} f(x) |\sin(nx)| \, dx = \sum_{k=0}^{2n-1} \int_{x_k}^{x_{k+1}} f(x) |\sin(nx)| \, dx.
\]
公式：x_k = \frac{k\pi}{n}, \quad \int_0^{2\pi} f(x) |\sin(nx)| \, dx = \sum_{k=0}^{2n-1} \int_{x_k}^{x_{k+1}} f(x) |\sin(nx)| \, dx
提示：分割的个数 \(2n\) 与 \(n\) 有关，确保每个小区间长度恰好是 \(|\sin(nx)|\) 的一个周期。
步骤 4/6
目标：对每个小区间进行变量替换
对第 \(k\) 个区间 \([x_k, x_{k+1}]\)，令 \(t = nx - k\pi\)，则当 \(x\) 从 \(x_k\) 到 \(x_{k+1}\) 时，\(t\) 从 \(0\) 到 \(\pi\)，且 \(dx = dt/n\)。同时：
\[
\sin(nx) = \sin(t + k\pi) = (-1)^k \sin t,
\]
取绝对值后为 \(|\sin t|\)，与 \(k\) 无关。于是：
\[
\int_{x_k}^{x_{k+1}} f(x) |\sin(nx)| \, dx = \frac{1}{n} \int_0^\pi f\!\left( \frac{t + k\pi}{n} \right) |\sin t| \, dt.
\]
公式：\int_{x_k}^{x_{k+1}} f(x) |\sin(nx)| \, dx = \frac{1}{n} \int_0^\pi f\!\left( \frac{t + k\pi}{n} \right) |\sin t| \, dt
提示：变量替换后，\(|\sin(nx)|\) 转化为 \(|\sin t|\)，简化了积分形式。
步骤 5/6
目标：利用连续性取极限，将积分转化为黎曼和
由于 \(f\) 在闭区间上连续，从而一致连续。当 \(n\) 很大时，在每个小区间上 \(f\!\left( \frac{t + k\pi}{n} \right)\) 近似于左端点值 \(f(x_k) = f(k\pi/n)\)。考虑近似和式：
\[
\frac{1}{n} \sum_{k=0}^{2n-1} f(x_k) \int_0^\pi |\sin t| \, dt = \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{2n-1} f\!\left( \frac{k\pi}{n} \right) \cdot 2 = \frac{2}{n} \sum_{k=0}^{2n-1} f\!\left( \frac{k\pi}{n} \right).
\]
该和式是 \(f\) 在 \([0, 2\pi]\) 上的黎曼和，步长为 \(\pi/n\)，因此当 \(n \to \infty\) 时：
\[
\frac{1}{n} \sum_{k=0}^{2n-1} f\!\left( \frac{k\pi}{n} \right) \to \frac{1}{\pi} \int_0^{2\pi} f(x) \, dx.
\]
乘以 2 即得极限为 \(\frac{2}{\pi} \int_0^{2\pi} f(x) \, dx\)。严格证明中需通过一致连续性验证误差项趋于零。
公式：\frac{2}{n} \sum_{k=0}^{2n-1} f\!\left( \frac{k\pi}{n} \right) \to \frac{2}{\pi} \int_0^{2\pi} f(x) \, dx \quad (n \to \infty)
提示：黎曼和的极限要求步长趋于零，这里步长为 \(\pi/n\)，满足条件。误差项的控制依赖于 \(f\) 的一致连续性。
步骤 6/6
目标：得出结论
综合以上步骤，我们证明了：
\[
\lim_{n \to \infty} \int_0^{2\pi} f(x) |\sin(nx)| \, dx = \frac{2}{\pi} \int_0^{2\pi} f(x) \, dx.
\]
公式：\boxed{\frac{2}{\pi} \int_{0}^{2\pi} f(x) \, dx}
提示：最终结果与 \(f\) 的具体形式无关，只依赖于 \(|\sin t|\) 的平均值。
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