山东大学 2026年数学分析第7题
📝 题目
7．已知 $\displaystyle f(x)=x^{3}\left(e^{\frac{1}{x}}+e^{-\frac{1}{x}}-C\right)$ ，满足： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow \infty}(f(x)-a x-b)=0$ ．求 $\displaystyle a, b, C$ 并阐述其几何意义．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：分析当 x → ∞ 时函数的渐近行为，展开指数函数
当 $x \to \infty$ 时，$\frac{1}{x} \to 0$，将 $e^{\frac{1}{x}}$ 和 $e^{-\frac{1}{x}}$ 分别展开为泰勒级数：
$$
e^{\frac{1}{x}} = 1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{2! x^2} + \frac{1}{3! x^3} + \frac{1}{4! x^4} + \cdots
$$
$$
e^{-\frac{1}{x}} = 1 - \frac{1}{x} + \frac{1}{2! x^2} - \frac{1}{3! x^3} + \frac{1}{4! x^4} - \cdots
$$
两式相加，奇次项抵消，得：
$$
e^{\frac{1}{x}} + e^{-\frac{1}{x}} = 2 + \frac{2}{2! x^2} + \frac{2}{4! x^4} + \cdots = 2 + \frac{1}{x^2} + \frac{1}{12 x^4} + O\left(\frac{1}{x^6}\right)
$$
公式：e^{\frac{1}{x}} + e^{-\frac{1}{x}} = 2 + \frac{1}{x^2} + \frac{1}{12 x^4} + O\left(\frac{1}{x^6}\right)
提示：注意奇次项相互抵消，这是双曲余弦函数在零点展开的特点。
步骤 2/4
目标：代入 f(x) 并确定常数 C
将展开式代入 $f(x) = x^3\left(e^{\frac{1}{x}} + e^{-\frac{1}{x}} - C\right)$，得：
$$
f(x) = x^3 \left( 2 + \frac{1}{x^2} + \frac{1}{12 x^4} + \cdots - C \right)
$$
若 $2 - C \neq 0$，则 $f(x)$ 的主项为 $(2-C)x^3$，当 $x \to \infty$ 时趋于无穷，无法与 $ax+b$ 的差趋于 0。因此必须消去 $x^3$ 项，即：
$$
2 - C = 0 \quad \Rightarrow \quad C = 2
$$
公式：C = 2
提示：关键在于判断最高次项系数必须为零，否则极限不存在。
步骤 3/4
目标：化简 f(x) 并确定 a 和 b
当 $C = 2$ 时，括号内剩下 $\frac{1}{x^2} + \frac{1}{12 x^4} + \cdots$，乘以 $x^3$ 得：
$$
f(x) = x + \frac{1}{12 x} + O\left(\frac{1}{x^3}\right)
$$
于是：
$$
f(x) - a x - b = (1 - a)x - b + \frac{1}{12 x} + O\left(\frac{1}{x^3}\right)
$$
要使 $\lim_{x \to \infty} (f(x) - a x - b) = 0$，必须让 $x$ 的系数和常数项均为 0：
$$
1 - a = 0 \quad \Rightarrow \quad a = 1
$$
$$
-b = 0 \quad \Rightarrow \quad b = 0
$$
公式：a = 1, \quad b = 0
提示：注意常数项来自 $-b$，而不是展开式中的其他项，因为 $\frac{1}{12x}$ 在 $x\to\infty$ 时趋于 0。
步骤 4/4
目标：阐述几何意义
由 $\lim_{x \to \infty} (f(x) - x) = 0$ 可知，直线 $y = x$ 是曲线 $y = f(x)$ 当 $x \to \infty$ 时的斜渐近线。即当 $x$ 充分大时，函数图像无限接近这条直线。
公式：\lim_{x \to \infty} (f(x) - x) = 0
提示：斜渐近线的定义：若 $\lim_{x\to\infty}(f(x)-ax-b)=0$，则 $y=ax+b$ 是斜渐近线。
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