山东大学 2026年数学分析第9题
📝 题目
9．已知球面 $\displaystyle \Gamma: x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}$ ，球 $\displaystyle \Sigma$ 满足：球心在 $\displaystyle \Gamma$ 上，半径为 $R$ ，当 $\displaystyle \Sigma$ 位于 $\displaystyle \Gamma$ 内的面积 $S$ 最大时，求 $R$ 和 $S$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：建立几何模型，明确已知量和变量
已知球面 $\Gamma: x^2+y^2+z^2=a^2$，半径为 $a$。球 $\Sigma$ 的球心 $C$ 在 $\Gamma$ 上，故 $|OC|=a$，半径 $R$ 可变。要求 $\Sigma$ 位于 $\Gamma$ 内部的那部分球面面积 $S$ 最大时的 $R$ 和 $S$。
公式：$|OC|=a$
提示：注意球心在球面上，不是球内。
步骤 2/6
目标：确定两球相交条件及交线几何关系
两球心距离 $d=a$，$\Gamma$ 半径 $a$，$\Sigma$ 半径 $R$。相交条件为 $|a-R|
公式：$x = \frac{R^2}{2a}$
提示：注意交线圆半径在两个球中相等，这是列方程的关键。
步骤 3/6
目标：求球冠高度 h
$\Sigma$ 在 $\Gamma$ 内部的部分是一个球冠，其高度 $h$ 是从切割平面到球冠顶点（远离球心 $C$ 一侧）的距离。由于球心 $C$ 在 $\Gamma$ 上，内部一侧朝向 $O$，切割平面在 $C$ 与 $O$ 之间，故 $h = R - x = R - \frac{R^2}{2a}$。
公式：$h = R - \frac{R^2}{2a}$
提示：球冠高度是沿半径方向从切割平面到球面的距离，注意方向。
步骤 4/6
目标：写出面积表达式
球冠面积公式 $S = 2\pi R h$，代入 $h$ 得 $S(R) = 2\pi R \left(R - \frac{R^2}{2a}\right) = 2\pi R^2 - \frac{\pi R^3}{a}$。定义域 $R \in (0, 2a)$。
公式：$S(R) = 2\pi R^2 - \frac{\pi R^3}{a}$
提示：面积公式只适用于球冠，不要误用整个球面面积公式。
步骤 5/6
目标：求导并令导数为零，求极值点
对 $S(R)$ 求导：$S'(R) = 4\pi R - \frac{3\pi R^2}{a}$。令 $S'(R)=0$，得 $\pi R \left(4 - \frac{3R}{a}\right)=0$。因 $R>0$，解得 $R = \frac{4a}{3}$。该值在 $(0,2a)$ 内，有效。
公式：$R = \frac{4a}{3}$
提示：求导时注意系数，不要漏掉 $\pi$ 或系数错误。
步骤 6/6
目标：计算最大面积 S
代入 $R = \frac{4a}{3}$ 到 $S(R)$：$S_{\max} = 2\pi \left(\frac{4a}{3}\right)^2 - \frac{\pi}{a} \left(\frac{4a}{3}\right)^3 = 2\pi \cdot \frac{16a^2}{9} - \frac{\pi}{a} \cdot \frac{64a^3}{27} = \frac{32\pi a^2}{9} - \frac{64\pi a^2}{27}$。通分得 $\frac{96\pi a^2}{27} - \frac{64\pi a^2}{27} = \frac{32\pi a^2}{27}$。
公式：$S_{\max} = \frac{32\pi a^2}{27}$
提示：通分时注意分母统一为27，避免计算错误。
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