山西师范大学 2024年数学分析第11题
📝 题目
11．设级数满足加括号后级数 $\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty}\left(u_{3 k+1}+u_{3 k+2}+u_{3 k+3}\right)$ 收玫，且在同一个括号中，各项符号相同．证明：$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 也收玫。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：明确已知条件和要证明的结论
已知级数 $\sum_{n=1}^\infty u_n$ 每三项加括号后得到的级数 $\sum_{k=0}^\infty (u_{3k+1}+u_{3k+2}+u_{3k+3})$ 收敛，且在每个括号内，三项的符号相同（全为正或全为负）。要证明原级数 $\sum_{n=1}^\infty u_n$ 也收敛。
公式：加括号后级数：$\sum_{k=0}^\infty (u_{3k+1}+u_{3k+2}+u_{3k+3})$
提示：注意加括号后的级数收敛是已知条件，但原级数不一定直接收敛，需要利用符号相同条件推导。
步骤 2/5
目标：引入记号并分析部分和的关系
设 $A_k = u_{3k+1}+u_{3k+2}+u_{3k+3}$，则加括号后的部分和为 $S_m = \sum_{k=0}^m A_k$。由条件，$\lim_{m\to\infty} S_m = L$ 存在。原级数的部分和为 $T_n = \sum_{i=1}^n u_i$。对任意 $n$，可唯一表示为 $n = 3m + r$，其中 $r=1,2,3$，则 $T_n = S_{m-1} + (u_{3m+1}+\cdots+u_{3m+r})$，约定 $S_{-1}=0$。
公式：$T_n = S_{m-1} + \sum_{i=1}^{r} u_{3m+i}$
提示：这里 $m$ 是括号的个数，$r$ 是余项项数，注意 $m$ 从0开始。
步骤 3/5
目标：利用符号相同条件估计余项绝对值
由于每个括号内 $u_{3k+1}, u_{3k+2}, u_{3k+3}$ 符号相同，因此对任意 $r=1,2,3$，部分和 $\sum_{i=1}^{r} u_{3m+i}$ 的绝对值不超过整个括号和 $A_m$ 的绝对值。即 $|u_{3m+1}+\cdots+u_{3m+r}| \le |A_m|$。这是因为若全正，则左边 $\le$ 右边；若全负，则左边绝对值也 $\le$ 右边绝对值。
公式：$|u_{3m+1}+\cdots+u_{3m+r}| \le |A_m|$
提示：此不等式是同号条件下的关键，注意不要误以为部分和绝对值一定等于整个和，实际是小于等于。
步骤 4/5
目标：由加括号级数收敛推出通项趋于零
因为加括号后的级数 $\sum_{k=0}^\infty A_k$ 收敛，所以其通项 $A_k$ 必须趋于0，即 $\lim_{k\to\infty} A_k = 0$。于是由步骤3的不等式，当 $m\to\infty$ 时，余项 $R_{m,r} = u_{3m+1}+\cdots+u_{3m+r}$ 也趋于0。
公式：$\lim_{m\to\infty} A_m = 0 \Rightarrow \lim_{m\to\infty} R_{m,r} = 0$
提示：收敛级数的通项趋于0是基本性质，这里直接应用。
步骤 5/5
目标：证明原级数部分和收敛到同一极限
由步骤2，$T_n = S_{m-1} + R_{m,r}$。已知 $\lim_{m\to\infty} S_{m-1} = L$，且由步骤4，$\lim_{m\to\infty} R_{m,r} = 0$。因此 $\lim_{n\to\infty} T_n = L + 0 = L$。这说明原级数 $\sum_{n=1}^\infty u_n$ 收敛，且其和等于加括号后的级数和。
公式：$\lim_{n\to\infty} T_n = \lim_{m\to\infty} (S_{m-1} + R_{m,r}) = L$
提示：注意 $n$ 与 $m$ 的对应关系：当 $n\to\infty$ 时，$m\to\infty$，因此极限成立。
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