山西师范大学 2024年数学分析第13题

已知极限 $\displaystyle \lim_{(x,v)\to (x_0,v_0)} f(x,v)$ 存在，记该极限为 $L$；且对任意固定的 $v$，函数 $x \mapsto f(x,v)$ 在 $x_0$ 处连续。题目要求证明 $f(x,v)$ 在 $(x_0,v_0)$ 处可微。但需指出：仅由题设条件无法推出可微性，只能推出连续性。以下先证连续性，再说明可微性不足。

由极限定义，对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $\delta_1 > 0$，使得当 $0 < \|(x,v)-(x_0,v_0)\| < \delta_1$ 时，有 $|f(x,v) - L| < \varepsilon$。特别地，取 $x = x_0$，$v$ 满足 $0<|v-v_0|<\delta_1$，则 $|f(x_0,v) - L| < \varepsilon$。

由题设，$f(x,v)$ 在 $(x_0,v)$ 处对 $x$ 连续，但这里需要 $f(x_0,v)$ 对 $v$ 连续。实际上，由于极限存在且 $f(x_0,v)$ 在 $v_0$ 附近有定义，可推出 $f(x_0,v)$ 在 $v_0$ 处连续（因为极限路径可沿 $(x_0,v)$ 逼近）。于是对上述 $\varepsilon$，存在 $\delta_2 > 0$，当 $|v-v_0| < \delta_2$ 时，$|f(x_0,v) - f(x_0,v_0)| < \varepsilon$。

取 $\delta = \min(\delta_1, \delta_2)$，则当 $\|(x,v)-(x_0,v_0)\| < \delta$ 时，先取路径 $(x_0,v)$（其中 $|v-v_0|<\delta$），有 $|L - f(x_0,v_0)| \le |L - f(x_0,v)| + |f(x_0,v) - f(x_0,v_0)| < 2\varepsilon$。由于 $\varepsilon$ 任意小，得 $L = f(x_0,v_0)$，即 $\lim_{(x,v)\to (x_0,v_0)} f(x,v) = f(x_0,v_0)$，故 $f$ 在 $(x_0,v_0)$ 连续。

可微性要求存在常数 $A,B$ 使得 $f(x_0+\Delta x, v_0+\Delta v) - f(x_0,v_0) = A\Delta x + B\Delta v + o(\sqrt{\Delta x^2+\Delta v^2})$。仅由连续性无法保证线性逼近的存在。例如，函数 $f(x,v)=\sqrt{|xv|}$ 在 $(0,0)$ 连续但不可微。因此，题设条件不足以证明可微。

由题设条件，我们只能证明 $f(x,v)$ 在 $(x_0,v_0)$ 连续，但无法证明可微。若要证明可微，需补充条件如：$f$ 的偏导数在 $(x_0,v_0)$ 存在且连续。