山西师范大学 2024年数学分析第4题
📝 题目
4．求 $\displaystyle \int_{0}^{\pi} \frac{d x}{1+\sin ^{2} x}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：利用对称性化简积分区间
注意到被积函数 $\frac{1}{1+\sin^2 x}$ 在 $[0,\pi]$ 上关于 $x = \frac{\pi}{2}$ 对称，因此可以将积分区间从 $[0,\pi]$ 缩小到 $[0,\frac{\pi}{2}]$ 并乘以 2：
$$\int_{0}^{\pi} \frac{dx}{1+\sin^2 x} = 2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{dx}{1+\sin^2 x}.$$
公式：\int_{0}^{\pi} \frac{dx}{1+\sin^2 x} = 2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{dx}{1+\sin^2 x}
提示：注意对称性成立的条件：被积函数在区间中点两侧取值相同。
步骤 2/5
目标：使用万能代换 $t = \tan x$
令 $t = \tan x$，则 $\sin^2 x = \frac{t^2}{1+t^2}$，$dx = \frac{dt}{1+t^2}$。当 $x=0$ 时 $t=0$，当 $x=\frac{\pi}{2}$ 时 $t \to +\infty$。代入积分得：
$$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{dx}{1+\sin^2 x} = \int_{0}^{\infty} \frac{1}{1+\frac{t^2}{1+t^2}} \cdot \frac{dt}{1+t^2}.$$
公式：\sin^2 x = \frac{t^2}{1+t^2}, \quad dx = \frac{dt}{1+t^2}
提示：万能代换适用于含 $\sin x$ 和 $\cos x$ 的有理函数积分，注意 $x=\frac{\pi}{2}$ 时 $t$ 趋于无穷，需处理为广义积分。
步骤 3/5
目标：化简被积函数
计算分母：$1 + \frac{t^2}{1+t^2} = \frac{1+t^2 + t^2}{1+t^2} = \frac{1+2t^2}{1+t^2}$。因此被积函数化为：
$$\frac{1}{\frac{1+2t^2}{1+t^2}} \cdot \frac{1}{1+t^2} = \frac{1+t^2}{1+2t^2} \cdot \frac{1}{1+t^2} = \frac{1}{1+2t^2}.$$
积分简化为：
$$\int_{0}^{\infty} \frac{dt}{1+2t^2}.$$
公式：\frac{1}{1+\frac{t^2}{1+t^2}} \cdot \frac{1}{1+t^2} = \frac{1}{1+2t^2}
提示：化简时注意分子分母的约分，避免计算错误。
步骤 4/5
目标：计算标准积分
计算 $\int_{0}^{\infty} \frac{dt}{1+2t^2}$。利用公式 $\int \frac{dt}{1+a^2 t^2} = \frac{1}{a} \arctan(at) + C$，这里 $a = \sqrt{2}$，因此：
$$\int_{0}^{\infty} \frac{dt}{1+2t^2} = \frac{1}{\sqrt{2}} \left[ \arctan(\sqrt{2} t) \right]_{0}^{\infty} = \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \frac{\pi}{2} - 0 \right) = \frac{\pi}{2\sqrt{2}}.$$
公式：\int_{0}^{\infty} \frac{dt}{1+2t^2} = \frac{\pi}{2\sqrt{2}}
提示：注意 $\arctan(\infty) = \frac{\pi}{2}$，这是广义积分的关键。
步骤 5/5
目标：乘回系数得到原积分结果
原积分 $\int_{0}^{\pi} \frac{dx}{1+\sin^2 x} = 2 \times \frac{\pi}{2\sqrt{2}} = \frac{\pi}{\sqrt{2}}$。
公式：\int_{0}^{\pi} \frac{dx}{1+\sin^2 x} = \frac{\pi}{\sqrt{2}}
提示：不要忘记乘以第一步中的系数 2。
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