山西师范大学 2024年数学分析第6题

题目给出的曲面积分为 \(\displaystyle \oiint_{S} \frac{e^{\sqrt{z}}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \, dx\,dy\)，这是第二类曲面积分中仅 \(R\) 分量非零的情形，即 \(P=0,\; Q=0,\; R=\frac{e^{\sqrt{z}}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\)。曲面 \(S\) 由三部分组成：下底面 \(z=1\)（\(x^2+y^2\le 1\)），上底面 \(z=2\)（\(x^2+y^2\le 2\)），侧面为抛物面 \(z=x^2+y^2\) 介于 \(z=1\) 与 \(z=2\) 之间的部分，取外侧方向。

由高斯公式，\(\displaystyle \oiint_S P\,dy\,dz+Q\,dz\,dx+R\,dx\,dy = \iiint_V \left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right) dV\)。这里 \(P=0,\;Q=0\)，散度仅为 \(\frac{\partial R}{\partial z}\)。计算 \(\frac{\partial R}{\partial z} = \frac{\partial}{\partial z}\left(\frac{e^{\sqrt{z}}}{\sqrt{x^2+y^2}}\right) = \frac{e^{\sqrt{z}}}{2\sqrt{z}\sqrt{x^2+y^2}}\)。因此原曲面积分等于 \(\displaystyle \iiint_V \frac{e^{\sqrt{z}}}{2\sqrt{z}\sqrt{x^2+y^2}} \, dV\)，其中 \(V\) 是抛物面 \(z=x^2+y^2\) 与平面 \(z=1,\;z=2\) 所围的立体区域。

由于区域和被积函数关于 \(z\) 轴旋转对称，采用柱坐标：\(x=r\cos\theta,\; y=r\sin\theta,\; z=z\)，体积元 \(dV = r\,dr\,d\theta\,dz\)。被积函数中 \(\sqrt{x^2+y^2}=r\)，故 \(\frac{e^{\sqrt{z}}}{2\sqrt{z}\sqrt{x^2+y^2}} = \frac{e^{\sqrt{z}}}{2\sqrt{z}\,r}\)。三重积分化为 \(\displaystyle \int_{\theta=0}^{2\pi} \int_{z=1}^{2} \int_{r=0}^{\sqrt{z}} \frac{e^{\sqrt{z}}}{2\sqrt{z}\,r} \cdot r\, dr\, dz\, d\theta\)。化简得 \(\displaystyle \int_{0}^{2\pi} d\theta \int_{1}^{2} \frac{e^{\sqrt{z}}}{2\sqrt{z}} \int_{0}^{\sqrt{z}} dr\, dz\)。内层积分 \(\int_{0}^{\sqrt{z}} dr = \sqrt{z}\)，代入得 \(\displaystyle \int_{0}^{2\pi} d\theta \int_{1}^{2} \frac{e^{\sqrt{z}}}{2\sqrt{z}} \cdot \sqrt{z}\, dz = \int_{0}^{2\pi} d\theta \int_{1}^{2} \frac{e^{\sqrt{z}}}{2}\, dz\)。

先对 \(\theta\) 积分得 \(2\pi\)，于是原式 = \(2\pi \cdot \frac12 \int_{1}^{2} e^{\sqrt{z}}\, dz = \pi \int_{1}^{2} e^{\sqrt{z}}\, dz\)。令 \(t=\sqrt{z}\)，则 \(z=t^2,\; dz=2t\,dt\)，积分限 \(z=1\to t=1,\; z=2\to t=\sqrt{2}\)。于是 \(\displaystyle \int_{1}^{2} e^{\sqrt{z}}\, dz = \int_{1}^{\sqrt{2}} e^{t} \cdot 2t\, dt = 2\int_{1}^{\sqrt{2}} t e^{t}\, dt\)。用分部积分：\(\int t e^{t}\, dt = (t-1)e^{t}+C\)，所以 \(2\left[(t-1)e^{t}\right]_{1}^{\sqrt{2}} = 2\left[(\sqrt{2}-1)e^{\sqrt{2}} - (1-1)e^{1}\right] = 2(\sqrt{2}-1)e^{\sqrt{2}}\)。因此原曲面积分 = \(\pi \cdot 2(\sqrt{2}-1)e^{\sqrt{2}} = 2\pi (\sqrt{2}-1)e^{\sqrt{2}}\)。