山西师范大学 2024年数学分析第8题
📝 题目
8．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可导，$\displaystyle f_{+}^{\prime}(a) f_{-}^{\prime}(b)<0$ ．证明：存在 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ ，使得 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)=0$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：理解条件并假设符号情况
已知 $f'_+(a) f'_-(b) < 0$，即两个单侧导数符号相反。不妨先假设 $f'_+(a) > 0$，$f'_-(b) < 0$（另一种情况对称可证）。
公式：$f'_+(a) = \lim_{x \to a^+} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} > 0$，$f'_-(b) = \lim_{x \to b^-} \frac{f(x)-f(b)}{x-b} < 0$
提示：注意单侧导数的定义中分母的正负不同，这会影响分子符号的推断。
步骤 2/5
目标：由导数定义得到局部增减性
由 $f'_+(a) > 0$，根据极限保号性，存在 $\delta_1 > 0$，当 $x \in (a, a+\delta_1)$ 时，有 $\frac{f(x)-f(a)}{x-a} > 0$。由于 $x-a > 0$，故 $f(x) > f(a)$。同理，由 $f'_-(b) < 0$，存在 $\delta_2 > 0$，当 $x \in (b-\delta_2, b)$ 时，有 $\frac{f(x)-f(b)}{x-b} < 0$。由于 $x-b < 0$，故 $f(x) > f(b)$。
公式：$f(x) > f(a)$ 在 $a$ 右侧附近成立；$f(x) > f(b)$ 在 $b$ 左侧附近成立。
提示：注意分母符号：在 $a$ 附近 $x-a>0$，在 $b$ 附近 $x-b<0$，因此分式符号与分子符号的关系要仔细推导。
步骤 3/5
目标：应用闭区间上连续函数的极值定理
函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上可导，故连续。由闭区间上连续函数的性质，$f(x)$ 在 $[a,b]$ 上必能取到最大值。由第二步可知，在 $a$ 右侧附近存在点函数值大于 $f(a)$，在 $b$ 左侧附近存在点函数值大于 $f(b)$，因此最大值不可能在端点 $a$ 或 $b$ 处取得，必在内部某点 $\xi \in (a,b)$ 处取得。
公式：最大值点 $\xi \in (a,b)$
提示：注意：最大值点可能在内部，但需要排除端点，这里利用局部函数值大于端点值来排除。
步骤 4/5
目标：应用费马引理得到导数为零
由于 $f(x)$ 在 $\xi$ 处可导且取得最大值（也是极大值），由费马引理，可导函数的极值点处导数为零，即 $f'(\xi) = 0$。
公式：$f'(\xi) = 0$
提示：费马引理要求函数在极值点可导，本题条件满足。
步骤 5/5
目标：讨论另一种符号情况
若 $f'_+(a) < 0$ 且 $f'_-(b) > 0$，则类似推理可得：在 $a$ 右侧附近 $f(x) < f(a)$，在 $b$ 左侧附近 $f(x) < f(b)$，因此最小值必在内部某点取得，由费马引理同样得到该点导数为零。综上，结论成立。
公式：对称推理，结论相同
提示：两种情况本质相同，只需将最大值换成最小值即可。
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