新疆大学 2026年数学分析第1题
📝 题目
1．（15 分）求极限：
（1）（ 7 分） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^{2}}\right)^{n}$ ．
（2）（ 8 分） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 1^{-}}\left(1-x^{2}\right)^{\frac{1}{\ln (1-x)}}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：分析极限类型并取对数
极限形式为 $1^\infty$ 型不定式。令 $a_n = \left(1+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}\right)^n$，取自然对数得 $\ln a_n = n \ln\left(1+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}\right)$。
公式：\ln a_n = n \ln\left(1+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}\right)
提示：注意识别 $1^\infty$ 型，取对数是常用方法。
步骤 2/8
目标：利用等价无穷小化简对数项
当 $n \to \infty$ 时，$\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2} \to 0$，由 $\ln(1+x) \sim x$（$x \to 0$）得 $\ln\left(1+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}\right) \sim \frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}$。
公式：\ln\left(1+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}\right) \sim \frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}
提示：等价无穷小替换时需确保变量趋于0，且替换后极限存在。
步骤 3/8
目标：计算对数极限
代入等价无穷小：$\ln a_n \sim n\left(\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}\right) = 1+\frac{1}{n}$，当 $n \to \infty$ 时，$1+\frac{1}{n} \to 1$，故 $\lim_{n\to\infty} \ln a_n = 1$。
公式：\lim_{n\to\infty} \ln a_n = 1
提示：严格证明可用洛必达法则或变量替换，此处等价无穷小已足够。
步骤 4/8
目标：还原指数得到极限值
由 $\ln a_n \to 1$ 得 $a_n = e^{\ln a_n} \to e^1 = e$，因此 $\lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}\right)^n = e$。
公式：\lim_{n\to\infty} a_n = e
提示：注意指数函数的连续性，极限可传入指数。
步骤 5/8
目标：分析第二题极限类型并取对数
当 $x \to 1^-$，$1-x^2 \to 0^+$，$\frac{1}{\ln(1-x)} \to 0$，为 $0^0$ 型。令 $y = (1-x^2)^{\frac{1}{\ln(1-x)}}$，取对数得 $\ln y = \frac{\ln(1-x^2)}{\ln(1-x)}$。
公式：\ln y = \frac{\ln(1-x^2)}{\ln(1-x)}
提示：$0^0$ 型也常用取对数转化为 $0 \cdot \infty$ 或 $\frac{\infty}{\infty}$ 型。
步骤 6/8
目标：分解对数并化简
利用 $1-x^2 = (1-x)(1+x)$，得 $\ln(1-x^2) = \ln(1-x) + \ln(1+x)$，代入得 $\ln y = \frac{\ln(1-x) + \ln(1+x)}{\ln(1-x)} = 1 + \frac{\ln(1+x)}{\ln(1-x)}$。
公式：\ln y = 1 + \frac{\ln(1+x)}{\ln(1-x)}
提示：分解因式是处理复合对数的重要技巧。
步骤 7/8
目标：计算对数极限
当 $x \to 1^-$，$\ln(1+x) \to \ln 2$，$\ln(1-x) \to -\infty$，故 $\frac{\ln(1+x)}{\ln(1-x)} \to 0$，因此 $\ln y \to 1$。
公式：\lim_{x\to 1^-} \ln y = 1
提示：注意 $\ln(1-x)$ 趋于负无穷，但比值仍趋于0。
步骤 8/8
目标：还原指数得到极限值
由 $\ln y \to 1$ 得 $y = e^{\ln y} \to e$，故 $\lim_{x \to 1^-} (1-x^2)^{\frac{1}{\ln(1-x)}} = e$。
公式：\lim_{x\to 1^-} y = e
提示：最终结果与第一题相同，均为 $e$。
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