新疆大学 2026年数学分析第4题
📝 题目
4．（15 分）求下列积分：
（1）（ 7 分） $\displaystyle \int x \arcsin x \mathrm{~d} x$ ．
（2）（8 分） $\displaystyle \int_{e^{-1}}^{e}|\ln x| \mathrm{d} x$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：对第一问使用分部积分法
设 $u = \arcsin x$, $dv = x\,dx$，则 $du = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,dx$, $v = \frac{x^2}{2}$。由分部积分公式 $\int u\,dv = uv - \int v\,du$ 得：
$$\int x \arcsin x\,dx = \frac{x^2}{2}\arcsin x - \int \frac{x^2}{2}\cdot\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,dx$$
公式：$\int u\,dv = uv - \int v\,du$
提示：注意 $\arcsin x$ 的导数为 $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$，不要写错。
步骤 2/7
目标：处理剩余积分，使用三角代换
计算 $\int \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}\,dx$。令 $x = \sin t$，则 $dx = \cos t\,dt$，$\sqrt{1-x^2} = \cos t$，于是：
$$\int \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}\,dx = \int \frac{\sin^2 t}{\cos t}\cdot\cos t\,dt = \int \sin^2 t\,dt$$
公式：$\sin^2 t = \frac{1-\cos 2t}{2}$
提示：三角代换后注意化简，$\cos t$ 可约去。
步骤 3/7
目标：计算三角积分并回代
$$\int \sin^2 t\,dt = \frac{1}{2}\int (1-\cos 2t)\,dt = \frac{t}{2} - \frac{\sin 2t}{4} + C$$ 由 $\sin 2t = 2\sin t\cos t = 2x\sqrt{1-x^2}$，$t = \arcsin x$，得：
$$\int \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}\,dx = \frac{\arcsin x}{2} - \frac{x\sqrt{1-x^2}}{2} + C$$
公式：$\sin 2t = 2\sin t\cos t$
提示：回代时注意将 $t$ 换回 $x$，并保留常数 $C$。
步骤 4/7
目标：合并结果并化简第一问
将上一步结果代入原式：
$$\int x \arcsin x\,dx = \frac{x^2}{2}\arcsin x - \frac{1}{2}\left(\frac{\arcsin x}{2} - \frac{x\sqrt{1-x^2}}{2}\right) + C$$ 化简得：
$$= \frac{x^2}{2}\arcsin x - \frac{\arcsin x}{4} + \frac{x\sqrt{1-x^2}}{4} + C = \frac{2x^2-1}{4}\arcsin x + \frac{x\sqrt{1-x^2}}{4} + C$$
公式：合并同类项
提示：注意 $\arcsin x$ 的系数合并，不要遗漏常数 $C$。
步骤 5/7
目标：分析第二问中绝对值的分段
区间为 $[e^{-1}, e]$，$\ln x = 0$ 时 $x=1$。当 $x \in [e^{-1}, 1]$ 时，$\ln x \le 0$，故 $|\ln x| = -\ln x$；当 $x \in [1, e]$ 时，$\ln x \ge 0$，故 $|\ln x| = \ln x$。因此：
$$\int_{e^{-1}}^{e} |\ln x|\,dx = \int_{e^{-1}}^{1} (-\ln x)\,dx + \int_{1}^{e} \ln x\,dx$$
公式：$|\ln x| = \begin{cases} -\ln x, & x<1 \\ \ln x, & x\ge 1 \end{cases}$
提示：注意 $\ln 1 = 0$，分段点 $x=1$ 在区间内部。
步骤 6/7
目标：计算 $\int \ln x\,dx$ 的不定积分
用分部积分：设 $u = \ln x$, $dv = dx$，则 $du = \frac{1}{x}dx$, $v = x$，得：
$$\int \ln x\,dx = x\ln x - \int x\cdot\frac{1}{x}\,dx = x\ln x - x + C$$
公式：$\int \ln x\,dx = x\ln x - x + C$
提示：分部积分时 $\ln x$ 的导数简单，适合作为 $u$。
步骤 7/7
目标：计算两个定积分并求和
先算 $\int_{1}^{e} \ln x\,dx = [x\ln x - x]_{1}^{e} = (e\cdot1 - e) - (1\cdot0 - 1) = 1$。
再算 $\int_{e^{-1}}^{1} (-\ln x)\,dx = -\int_{e^{-1}}^{1} \ln x\,dx$，而 $\int_{e^{-1}}^{1} \ln x\,dx = [x\ln x - x]_{e^{-1}}^{1} = (-1) - (-2e^{-1}) = -1 + \frac{2}{e}$，故 $\int_{e^{-1}}^{1} (-\ln x)\,dx = -(-1 + \frac{2}{e}) = 1 - \frac{2}{e}$。
总和：$(1 - \frac{2}{e}) + 1 = 2 - \frac{2}{e}$。
公式：$\int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b) - F(a)$
提示：计算 $\ln(e^{-1}) = -1$，代入时注意符号。
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