新疆大学 2026年数学分析第6题
📝 题目
6．（15 分）求幂级数 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{a^{n}+b^{n}}(a>0, b>0)$ 的收敛域．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：确定收敛半径的求解方法
对于幂级数 $\sum c_n x^n$，收敛半径 $R$ 可由 Cauchy-Hadamard 公式 $\frac{1}{R} = \limsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{|c_n|}$ 求得。这里 $c_n = \frac{1}{a^n + b^n}$，$a>0, b>0$。
公式：$\frac{1}{R} = \limsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{|c_n|}$
提示：注意 $c_n$ 是系数，不含 $x$；根值法适用于通项含 $n$ 次幂的情形。
步骤 2/6
目标：计算 $\sqrt[n]{|c_n|}$ 的极限
计算 $\sqrt[n]{\frac{1}{a^n + b^n}} = \frac{1}{(a^n + b^n)^{1/n}}$。需要求 $\lim_{n\to\infty} (a^n + b^n)^{1/n}$。不妨设 $a \ge b$，则 $a^n \le a^n + b^n \le 2a^n$，开 $n$ 次方得 $a \le (a^n + b^n)^{1/n} \le a \cdot 2^{1/n}$，由夹逼定理得极限为 $a = \max(a,b)$。同理若 $b > a$ 则极限为 $b$。
公式：$\lim_{n\to\infty} (a^n + b^n)^{1/n} = \max(a,b)$
提示：夹逼时注意 $2^{1/n} \to 1$；不要忘记 $a,b$ 大小关系不确定，需分情况讨论。
步骤 3/6
目标：得到收敛半径
由 Cauchy-Hadamard 公式：$\frac{1}{R} = \limsup_{n\to\infty} \frac{1}{(a^n+b^n)^{1/n}} = \frac{1}{\max(a,b)}$，因此收敛半径 $R = \max(a,b)$。
公式：$R = \max(a,b)$
提示：收敛半径只由系数决定，与 $x$ 无关；$\max(a,b)$ 是 $a$ 和 $b$ 中较大的数。
步骤 4/6
目标：判断端点 $x = R$ 的敛散性
设 $a \ge b$，则 $R = a$。当 $x = a$ 时，级数为 $\sum_{n=0}^\infty \frac{a^n}{a^n + b^n}$。由于 $b \le a$，有 $\frac{a^n}{a^n + b^n} \ge \frac{a^n}{a^n + a^n} = \frac{1}{2}$，通项不趋于 $0$，故级数发散。若 $b > a$，同理可得发散。
公式：$\frac{a^n}{a^n + b^n} \ge \frac{1}{2}$
提示：判断端点时需利用通项不趋于 $0$ 是级数发散的充分条件；注意不等式方向。
步骤 5/6
目标：判断端点 $x = -R$ 的敛散性
仍设 $a \ge b$，则 $x = -a$，级数为 $\sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{a^n}{a^n + b^n}$。通项绝对值 $\frac{a^n}{a^n+b^n} \to 1$（因为 $a^n$ 占主导），不趋于 $0$，故级数发散。若 $b > a$，同理发散。
公式：$\lim_{n\to\infty} \frac{a^n}{a^n+b^n} = 1$
提示：交错级数也需要通项趋于 $0$ 才可能收敛；这里通项绝对值极限为 $1$，不满足必要条件。
步骤 6/6
目标：总结收敛域
由收敛半径 $R = \max(a,b)$ 且两端点均发散，故收敛域为开区间 $(-\max(a,b), \max(a,b))$。
公式：$\text{收敛域} = (-\max(a,b), \max(a,b))$
提示：收敛域是开区间，不要写成闭区间；$\max(a,b)$ 是 $a$ 和 $b$ 中较大的数。
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