新疆大学 2026年数学分析第9题

我们要证明的是：对于在 $[a,b]$ 上连续的函数 $f(x)$，有不等式 $\left( \int_a^b f(x) \, dx \right)^2 \le (b-a) \int_a^b f^2(x) \, dx$ 成立，并说明等号成立的条件。

柯西-施瓦茨不等式在积分形式下表述为：对于区间 $[a,b]$ 上平方可积的函数 $g(x)$ 和 $h(x)$，有 $\left( \int_a^b g(x) h(x) \, dx \right)^2 \le \left( \int_a^b g^2(x) \, dx \right) \left( \int_a^b h^2(x) \, dx \right)$。等号成立当且仅当 $g(x)$ 与 $h(x)$ 几乎处处成比例，即存在常数 $\lambda$ 使得 $g(x) = \lambda h(x)$ 几乎处处成立。

令 $g(x) = f(x)$，$h(x) = 1$。则计算各项：$\int_a^b g(x) h(x) \, dx = \int_a^b f(x) \cdot 1 \, dx = \int_a^b f(x) \, dx$；$\int_a^b g^2(x) \, dx = \int_a^b f^2(x) \, dx$；$\int_a^b h^2(x) \, dx = \int_a^b 1^2 \, dx = b-a$。

将第三步的结果代入柯西-施瓦茨不等式：$\left( \int_a^b f(x) \, dx \right)^2 \le \left( \int_a^b f^2(x) \, dx \right) (b-a)$。这正是我们要证明的不等式。

根据柯西-施瓦茨不等式的等号成立条件，等号成立当且仅当 $g(x)$ 与 $h(x)$ 成比例，即存在常数 $c$ 使得 $f(x) = c \cdot 1$ 对几乎所有 $x \in [a,b]$ 成立。由于 $f(x)$ 连续，该条件等价于 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上为常值函数。反之，若 $f(x)$ 为常数，则不等式两边显然相等。因此等号成立当且仅当 $f(x)$ 为常值函数。

我们已经证明了不等式 $\left( \int_a^b f(x) \, dx \right)^2 \le (b-a) \int_a^b f^2(x) \, dx$，并指出等号成立当且仅当 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上为常值函数。