河南大学 2026年数学分析第11题
📝 题目
11．设连续函数 $\displaystyle f:(a, b) \rightarrow(a, b)$ ，存在 $\displaystyle c \in(a, b)$ 成立 $\displaystyle |f(x)-c|<|x-c|, x \in(a, b) \backslash\{c\}$证明：对于任意的 $\displaystyle x_{1} \in(a, b)$ ，由递推关系 $\displaystyle x_{n+1}=f\left(x_{n}\right)$ 确定的数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收玫。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：验证不动点
由条件 $|f(x)-c| < |x-c|$ 对 $x \neq c$ 成立，且 $f$ 连续。令 $x \to c$，取极限得 $|f(c)-c| \leq 0$，故 $|f(c)-c|=0$，即 $f(c)=c$。因此 $c$ 是 $f$ 的不动点。
公式：\lim_{x \to c} |f(x)-c| \leq \lim_{x \to c} |x-c| = 0 \Rightarrow f(c)=c
提示：注意不等式对 $x \neq c$ 严格成立，但极限过程可得到非严格不等式，结合绝对值非负性得到等式。
步骤 2/4
目标：定义距离数列并证明其递减且有下界
设 $d_n = |x_n - c|$。若 $x_n = c$，则 $x_{n+1}=f(c)=c$，数列从该点起恒为 $c$，收敛显然。若 $x_n \neq c$，由条件得 $d_{n+1} = |f(x_n)-c| < |x_n-c| = d_n$。因此 $\{d_n\}$ 严格递减且有下界 $0$，故极限 $L = \lim_{n \to \infty} d_n$ 存在且 $L \geq 0$。
公式：d_{n+1} < d_n, \quad d_n \geq 0
提示：递减性依赖于 $x_n \neq c$，但若某步等于 $c$ 则问题已解决，故只需考虑 $x_n \neq c$ 的情形。
步骤 3/4
目标：反证法证明极限 $L=0$
假设 $L > 0$。则 $d_n \geq L > 0$，故所有 $x_n \neq c$。由于 $\{x_n\}$ 有界，由 Bolzano-Weierstrass 定理，存在收敛子列 $x_{n_k} \to p$。由 $d_{n_k} \to L$ 得 $|p-c| = L > 0$，故 $p \neq c$。由递推 $x_{n_k+1}=f(x_{n_k})$ 及 $f$ 连续性得 $x_{n_k+1} \to f(p)$，且 $d_{n_k+1} \to L$，故 $|f(p)-c| = L$。但条件要求 $|f(p)-c| < |p-c| = L$，矛盾。因此 $L=0$。
公式：\lim_{k \to \infty} d_{n_k} = L \Rightarrow |p-c|=L,\quad |f(p)-c|=L \text{ 与 } |f(p)-c|
提示：注意子列极限点 $p$ 可能在边界，但 $L>0$ 保证 $p \neq c$，且 $f$ 定义在开区间上，连续性仍适用。
步骤 4/4
目标：由距离趋于零推出数列收敛
由 $L=0$ 即 $\lim_{n \to \infty} d_n = \lim_{n \to \infty} |x_n - c| = 0$，故 $x_n \to c$。因此对任意初始点 $x_1 \in (a,b)$，数列 $\{x_n\}$ 收敛到 $c$。
公式：\lim_{n \to \infty} |x_n - c| = 0 \Rightarrow \lim_{n \to \infty} x_n = c
提示：这是数列收敛的等价定义，无需额外条件。
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