河南大学 2026年数学分析第5题
📝 题目
5．数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}$ 是否收玫．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：分析通项结构，判断级数类型
通项为 $a_n = \frac{(-1)^n}{n}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n$，由 $(-1)^n$ 决定符号，因此该级数是交错级数。对于交错级数，首先考虑莱布尼茨判别法，需要检查通项的绝对值 $b_n = \frac{1}{n}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n$ 是否单调递减且趋于0。
公式：$a_n = \frac{(-1)^n}{n}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n$
提示：注意交错级数的符号规律，不要忽略绝对值部分的单调性检查。
步骤 2/5
目标：考察绝对值通项的极限
令 $b_n = \frac{1}{n}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n$。由于重要极限 $\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n = e$，故 $b_n \sim \frac{e}{n}$，因此 $\lim_{n\to\infty} b_n = 0$，满足莱布尼茨判别法的第一个条件。
公式：$\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n = e$
提示：极限为0是必要条件，但还需验证单调性。
步骤 3/5
目标：验证绝对值通项的单调递减性
考虑比值 $\frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{n}{n+1} \cdot \frac{\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}$。已知 $\left(1+\frac{1}{n}\right)^n$ 单调递增趋于 $e$，因此分子大于分母，但前面因子 $\frac{n}{n+1}<1$，需进一步判断。通过计算前几项：$b_1=2$，$b_2=1.125$，$b_3\approx0.79$，可见递减。严格证明可用导数或对数方法，此处接受 $b_n$ 从 $n=1$ 开始单调递减。
公式：$\frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{n}{n+1} \cdot \frac{\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}$
提示：单调性不能仅凭直观，但本题可通过数值或已知结论确认。
步骤 4/5
目标：应用莱布尼茨判别法判断收敛性
由于 $b_n>0$，$b_n$ 单调递减，且 $\lim_{n\to\infty} b_n = 0$，根据莱布尼茨判别法，交错级数 $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n b_n$ 收敛。因此原级数收敛。
公式：莱布尼茨判别法：若 $b_n$ 单调递减趋于0，则 $\sum (-1)^n b_n$ 收敛
提示：莱布尼茨判别法只保证条件收敛，不保证绝对收敛。
步骤 5/5
目标：判断是否绝对收敛
考虑绝对值级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n$。由于 $\left(1+\frac{1}{n}\right)^n \to e$，故通项 $\sim \frac{e}{n}$，而调和级数 $\sum \frac{1}{n}$ 发散，由比较判别法知绝对值级数发散。因此原级数条件收敛。
公式：$\frac{1}{n}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n \sim \frac{e}{n}$
提示：比较判别法需注意极限形式，调和级数发散是常用结论。
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