河南大学 2026年数学分析第8题

要判断级数在 $(0,+\infty)$ 上是否一致收敛，需考察余项 $R_N(x) = \sum_{n=N+1}^{\infty} x^2 e^{-n x}$ 的上确界是否趋于零，即验证 $\lim_{N\to\infty} \sup_{x>0} |R_N(x)| = 0$ 是否成立。

当 $x\to 0^+$ 时，$1-e^{-x}\sim x$，故 $R_N(x) \sim x^2 \cdot \frac{e^{-(N+1)x}}{x} = x e^{-(N+1)x} \to 0$；当 $x\to +\infty$ 时，$1-e^{-x}\to 1$，$R_N(x) \sim x^2 e^{-(N+1)x} \to 0$。因此余项在两端趋于零，最大值出现在中间某点。

取 $x = \frac{1}{N}$，代入余项：$R_N\left(\frac{1}{N}\right) = \frac{1}{N^2} \cdot \frac{e^{-(N+1)/N}}{1-e^{-1/N}}$。当 $N\to\infty$，$e^{-(N+1)/N}\to e^{-1}$，$1-e^{-1/N}\sim \frac{1}{N}$，故 $R_N\left(\frac{1}{N}\right) \sim \frac{e^{-1}}{N} \to 0$。类似地，取 $x = \frac{a}{N}$（$a>0$ 常数）也得到 $R_N \sim \frac{a e^{-a}}{N} \to 0$。这表明沿此路径余项趋于零，不能直接否定一致收敛。

考虑函数 $f_N(x) = \frac{x^2 e^{-(N+1)x}}{1-e^{-x}}$，为求其最大值，令 $t = x$，对 $f_N(x)$ 求导。记 $g(x) = \frac{x^2}{1-e^{-x}}$，则 $f_N(x) = g(x) e^{-(N+1)x}$。由于 $g(x)$ 在 $x>0$ 光滑且 $g(x)\sim x$（$x\to 0$），$g(x)\sim x^2$（$x\to\infty$），$f_N(x)$ 存在唯一最大值点 $x_N$。通过分析 $f_N'(x)=0$ 可得 $x_N$ 满足 $\frac{2}{x_N} - \frac{e^{-x_N}}{1-e^{-x_N}} = N+1$，当 $N$ 大时 $x_N \sim \frac{2}{N}$。代入得 $\sup_{x>0} R_N(x) \sim \frac{4}{e^2 N} \to 0$。

由第五步，$\sup_{x>0} R_N(x) \sim \frac{4}{e^2 N} \to 0$（$N\to\infty$），因此对任意 $\varepsilon>0$，存在 $N_0$，当 $N>N_0$ 时，对所有 $x>0$ 有 $|R_N(x)|<\varepsilon$。这满足一致收敛的定义，故级数在 $(0,+\infty)$ 上一致收敛。

函数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} x^{2} e^{-n x}$ 在区间 $(0,+\infty)$ 上一致收敛。