湖南大学 2025年数学分析第3题
📝 题目
3．设 $\displaystyle f(x)$ 是 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上的连续函数，若 $\displaystyle \lim _{|x| \rightarrow+\infty} f(x)=+\infty$ ，则存在 $\displaystyle x_{0} \in \mathbb{R}$ ，使得 $\displaystyle f(x)$ 可以取到 $\displaystyle \inf _{x \in \mathbb{R}} f(x)$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：明确已知条件与目标
已知 $f(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续，且 $\lim_{|x| \to +\infty} f(x) = +\infty$。要证明存在 $x_0 \in \mathbb{R}$，使得 $f(x_0) = \inf_{x \in \mathbb{R}} f(x)$，即下确界可达。
公式：\lim_{|x| \to +\infty} f(x) = +\infty
提示：注意极限条件是双向的，即 $x \to +\infty$ 和 $x \to -\infty$ 时都趋向正无穷。
步骤 2/5
目标：证明下确界是有限实数
由极限条件，存在 $M > 0$，使得当 $|x| > M$ 时，$f(x) > f(0)$。因此函数在 $[-M, M]$ 之外有下界 $f(0)$，而 $f$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续，故整体有下界，下确界 $m = \inf_{x \in \mathbb{R}} f(x)$ 是有限实数。
公式：m = \inf_{x \in \mathbb{R}} f(x) \in \mathbb{R}
提示：这里 $f(0)$ 只是一个参考点，也可以取任意固定点，但需保证 $M$ 的存在性。
步骤 3/5
目标：利用紧集上的连续函数性质
考虑闭区间 $[-M, M]$，它是 $\mathbb{R}$ 上的有界闭集，即紧集。连续函数在紧集上必能取到最小值，设 $f(x_1) = \min_{x \in [-M, M]} f(x)$。
公式：f(x_1) = \min_{x \in [-M, M]} f(x)
提示：紧集上的连续函数必有最大值和最小值，这是分析中的基本定理。
步骤 4/5
目标：比较区间内外函数值，确定全局最小值
由 $M$ 的取法，当 $|x| > M$ 时，$f(x) > f(0) \ge f(x_1)$，因此区间外所有点的函数值都严格大于 $f(x_1)$。故 $f(x_1)$ 就是整个 $\mathbb{R}$ 上的最小值，即 $f(x_1) = \inf_{x \in \mathbb{R}} f(x)$。
公式：f(x_1) = \min_{x \in \mathbb{R}} f(x) = \inf_{x \in \mathbb{R}} f(x)
提示：注意 $f(0) \ge f(x_1)$ 是因为 $x_1$ 是区间内的最小值，而 $0$ 在区间内。
步骤 5/5
目标：得出结论
取 $x_0 = x_1$，则 $f(x_0) = \inf_{x \in \mathbb{R}} f(x)$，即函数可取到全局最小值。证明完成。
公式：\exists x_0 \in \mathbb{R}, \ f(x_0) = \inf_{x \in \mathbb{R}} f(x)
提示：本题的关键是利用极限条件构造紧区间，将问题转化为紧集上的最值问题。
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