湖南大学 2025年数学分析第8题

设函数 $f(x,y)$ 定义在某个区域上，当 $x \to a$ 时，$f(x,y)$ 一致收敛于 $\varphi(y)$，即：对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $\delta > 0$，使得当 $0 < |x - a| < \delta$ 时，对所有 $y$ 都有 $|f(x,y) - \varphi(y)| < \varepsilon$。我们要证明该条件等价于：对任意趋近于 $a$ 的数列 $\{x_n\}$（即 $x_n \to a$，且 $x_n \neq a$ 可能），函数列 $f(x_n, y)$ 一致收敛于 $\varphi(y)$。

假设当 $x \to a$ 时，$f(x,y)$ 一致收敛于 $\varphi(y)$。取任意数列 $x_n \to a$，给定 $\varepsilon > 0$，由一致收敛定义，存在 $\delta > 0$，使得对所有满足 $0<|x-a|<\delta$ 的 $x$ 和所有 $y$ 有 $|f(x,y) - \varphi(y)| < \varepsilon$。由于 $x_n \to a$，存在 $N$ 使得当 $n > N$ 时，$0<|x_n - a|<\delta$。于是对任意 $n > N$ 和任意 $y$，有 $|f(x_n,y) - \varphi(y)| < \varepsilon$。这正是 $f(x_n,y)$ 一致收敛于 $\varphi(y)$ 的定义。

假设对任意趋近于 $a$ 的数列 $\{x_n\}$，$f(x_n, y)$ 一致收敛于 $\varphi(y)$，但 $x \to a$ 时 $f(x,y)$ 不一致收敛于 $\varphi(y)$。则存在某个 $\varepsilon_0 > 0$，使得对任意 $\delta > 0$，都能找到某个 $x$ 满足 $0<|x-a|<\delta$ 以及某个 $y$ 使得 $|f(x,y) - \varphi(y)| \ge \varepsilon_0$。特别地，取 $\delta = 1/n$，我们就能构造一个数列 $x_n$ 满足 $0<|x_n - a| < 1/n$ 且存在对应的 $y_n$ 使得 $|f(x_n, y_n) - \varphi(y_n)| \ge \varepsilon_0$。显然 $x_n \to a$。

由假设，对任意趋近于 $a$ 的数列，$f(x_n, y)$ 应一致收敛于 $\varphi(y)$。即对上述 $\varepsilon_0$，存在 $N$ 使得当 $n > N$ 时，对所有 $y$ 都有 $|f(x_n, y) - \varphi(y)| < \varepsilon_0$。但根据构造，对每个 $n$ 都存在 $y_n$ 使得 $|f(x_n, y_n) - \varphi(y_n)| \ge \varepsilon_0$，这与一致收敛性矛盾。因此假设不成立，原命题成立。

我们已经完成了必要性和充分性的证明，因此原命题成立：$x \to a$ 时 $f(x,y)$ 一致收敛于 $\varphi(y)$ 当且仅当对任意趋近于 $a$ 的数列 $\{x_n\}$，$f(x_n, y)$ 一致收敛于 $\varphi(y)$。