湘潭大学 2026年数学分析第2题

已知 $y = \sqrt[3]{x - \tan x}$，可写为 $y = (x - \tan x)^{1/3}$。令 $u = x - \tan x$，则 $y = u^{1/3}$。

由链式法则：$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{3} u^{-2/3} \cdot \frac{du}{dx}$。计算 $\frac{du}{dx} = 1 - \sec^2 x = -\tan^2 x$。代入得 $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{3} (x - \tan x)^{-2/3} \cdot (-\tan^2 x) = -\frac{\tan^2 x}{3 (x - \tan x)^{2/3}}$。

一阶微分为 $\mathrm{d}y = \frac{dy}{dx} \mathrm{d}x = -\frac{\tan^2 x}{3 (x - \tan x)^{2/3}} \mathrm{d}x$。

记 $y' = -\frac{1}{3} \tan^2 x \cdot (x - \tan x)^{-2/3}$。令 $A = \tan^2 x$，$B = (x - \tan x)^{-2/3}$，则 $y' = -\frac{1}{3} A B$。求导得 $y'' = -\frac{1}{3}(A'B + AB')$。计算 $A' = 2\tan x \sec^2 x$，$B' = -\frac{2}{3}(x - \tan x)^{-5/3} \cdot (1 - \sec^2 x) = \frac{2\tan^2 x}{3 (x - \tan x)^{5/3}}$。代入得 $y'' = -\frac{2\tan x \sec^2 x}{3 (x - \tan x)^{2/3}} - \frac{2\tan^4 x}{9 (x - \tan x)^{5/3}}$。

二阶微分为 $\mathrm{d}^2 y = y'' (\mathrm{d}x)^2 = \left[-\frac{2\tan x \sec^2 x}{3 (x - \tan x)^{2/3}} - \frac{2\tan^4 x}{9 (x - \tan x)^{5/3}}\right] (\mathrm{d}x)^2$。

设 $a < b$，且 $y$ 在 $(a,b)$ 内。将 $|y-x|$ 分段：当 $x \in [a,y]$ 时 $|y-x| = y-x$；当 $x \in [y,b]$ 时 $|y-x| = x-y$。于是 $F(y) = \int_a^y f(x)(y-x) \mathrm{d}x + \int_y^b f(x)(x-y) \mathrm{d}x$。

对第一项 $I_1(y) = \int_a^y f(x)(y-x) \mathrm{d}x$ 求导：$I_1'(y) = f(y)(y-y) + \int_a^y f(x) \mathrm{d}x = \int_a^y f(x) \mathrm{d}x$。对第二项 $I_2(y) = \int_y^b f(x)(x-y) \mathrm{d}x$ 求导：$I_2'(y) = -f(y)(y-y) + \int_y^b (-f(x)) \mathrm{d}x = -\int_y^b f(x) \mathrm{d}x$。因此 $F'(y) = \int_a^y f(x) \mathrm{d}x - \int_y^b f(x) \mathrm{d}x$。

对 $F'(y)$ 再求导：$\frac{d}{dy} \int_a^y f(x) \mathrm{d}x = f(y)$，$\frac{d}{dy} \left(-\int_y^b f(x) \mathrm{d}x\right) = -(-f(y)) = f(y)$。所以 $F''(y) = f(y) + f(y) = 2f(y)$。