福州大学 2025年数学分析第1题
📝 题目
1、（ 30 分）求极限
（1） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+x+x^{2}}+\sqrt{1+x-2 x^{2}}-2 \sqrt{1+x}}{e^{\cos x-1}-1}$ ．
（2） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin [(2 n+1) x]}{n^{2}}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：处理分母的等价无穷小替换
当 $x \to 0$ 时，$\cos x - 1 \sim -\frac{x^2}{2}$，因此 $e^{\cos x - 1} - 1 \sim \cos x - 1 \sim -\frac{x^2}{2}$。分母等价于 $-\frac{x^2}{2}$。
公式：$e^{\cos x - 1} - 1 \sim -\frac{x^2}{2}$
提示：注意 $e^u - 1 \sim u$ 当 $u \to 0$，这里 $u = \cos x - 1$。
步骤 2/7
目标：对分子中的根式进行泰勒展开
使用 $\sqrt{1+u} = 1 + \frac{u}{2} - \frac{u^2}{8} + O(u^3)$。
对于 $\sqrt{1+x+x^2}$，令 $u = x + x^2$：
$$\sqrt{1+x+x^2} = 1 + \frac{x+x^2}{2} - \frac{(x+x^2)^2}{8} + O(x^3) = 1 + \frac{x}{2} + \frac{3x^2}{8} + O(x^3).$$
对于 $\sqrt{1+x-2x^2}$，令 $u = x - 2x^2$：
$$\sqrt{1+x-2x^2} = 1 + \frac{x-2x^2}{2} - \frac{(x-2x^2)^2}{8} + O(x^3) = 1 + \frac{x}{2} - \frac{9x^2}{8} + O(x^3).$$
对于 $2\sqrt{1+x}$：
$$2\sqrt{1+x} = 2\left(1 + \frac{x}{2} - \frac{x^2}{8} + O(x^3)\right) = 2 + x - \frac{x^2}{4} + O(x^3).$$
公式：$\sqrt{1+u} = 1 + \frac{u}{2} - \frac{u^2}{8} + O(u^3)$
提示：展开时需保留到 $x^2$ 项，因为分母是 $x^2$ 阶。注意合并同类项时不要遗漏。
步骤 3/7
目标：合并分子并化简
分子为：
$$\left(1 + \frac{x}{2} + \frac{3x^2}{8}\right) + \left(1 + \frac{x}{2} - \frac{9x^2}{8}\right) - \left(2 + x - \frac{x^2}{4}\right) + O(x^3).$$
常数项：$1+1-2=0$。
一次项：$\frac{x}{2}+\frac{x}{2}-x=0$。
二次项：$\frac{3}{8} - \frac{9}{8} + \frac{1}{4} = \frac{3-9+2}{8} = -\frac{1}{2}$。
因此分子为 $-\frac{1}{2}x^2 + O(x^3)$。
公式：$\text{分子} = -\frac{1}{2}x^2 + O(x^3)$
提示：合并时注意二次项系数的符号，$+\frac{1}{4}$ 来自 $-(-\frac{x^2}{4})$。
步骤 4/7
目标：计算极限
原极限为：
$$\lim_{x \to 0} \frac{-\frac{1}{2}x^2 + O(x^3)}{-\frac{1}{2}x^2} = 1.$$
公式：$\lim_{x\to 0} \frac{-\frac12 x^2}{-\frac12 x^2} = 1$
提示：高阶无穷小 $O(x^3)$ 除以 $x^2$ 趋于 0，不影响极限。
步骤 5/7
目标：分析第二题级数的连续性
由于 $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}$ 收敛，且 $|\sin[(2n+1)x]| \leq 1$，由 Weierstrass M-判别法，级数 $\sum_{n=1}^\infty \frac{\sin[(2n+1)x]}{n^2}$ 在 $\mathbb{R}$ 上一致收敛。和函数连续，因此极限可直接代入 $x = \frac{\pi}{2}$。
公式：$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}$ 收敛
提示：一致收敛性保证了极限与求和可交换顺序。
步骤 6/7
目标：代入 $x = \frac{\pi}{2}$ 并化简通项
代入 $x = \frac{\pi}{2}$：
$$\sin\left[(2n+1)\frac{\pi}{2}\right] = \sin\left(n\pi + \frac{\pi}{2}\right) = (-1)^n.$$
公式：$\sin\left(n\pi + \frac{\pi}{2}\right) = (-1)^n$
提示：利用诱导公式：$\sin(\theta + \frac{\pi}{2}) = \cos\theta$，但这里直接记忆 $\sin(n\pi + \frac{\pi}{2}) = (-1)^n$ 更快捷。
步骤 7/7
目标：计算交错级数的和
极限等于 $\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n^2}$。
这是交错 p-级数，其和可用 Dirichlet eta 函数表示：
$$\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n^2} = -\eta(2) = -\left(1-2^{1-2}\right)\zeta(2) = -\frac{1}{2}\zeta(2) = -\frac{1}{2} \cdot \frac{\pi^2}{6} = -\frac{\pi^2}{12}.$$
公式：$\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n^2} = -\frac{\pi^2}{12}$
提示：注意 $\eta(s) = (1-2^{1-s})\zeta(s)$，且 $\zeta(2) = \frac{\pi^2}{6}$。
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