福州大学 2025年数学分析第5题
📝 题目
5、（20 分）证明： $\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\frac{x^{2}}{2}} \mathrm{~d} x=\sqrt{2 \pi}$ ，并用该结果计算 $\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\frac{x^{2}}{2}+x} \mathrm{~d} x$ ．
注：求 $\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\frac{x^{2}}{2}+x} \mathrm{~d} x$ 这题可能有问题，可能是求 $\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} x^{2} e^{-x^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：证明高斯积分 ∫_{-∞}^{+∞} e^{-x^2/2} dx = √(2π)
设 I = ∫_{-∞}^{+∞} e^{-x^2/2} dx。由于被积函数为偶函数，但直接利用对称性处理。考虑 I^2 = (∫_{-∞}^{+∞} e^{-x^2/2} dx)(∫_{-∞}^{+∞} e^{-y^2/2} dy) = ∫_{-∞}^{+∞}∫_{-∞}^{+∞} e^{-(x^2+y^2)/2} dx dy。将直角坐标转换为极坐标：x = r cosθ, y = r sinθ, dx dy = r dr dθ, x^2+y^2 = r^2, 积分区域 r∈[0,+∞), θ∈[0,2π)。于是 I^2 = ∫_{0}^{2π}∫_{0}^{+∞} e^{-r^2/2} r dr dθ。先对 r 积分：令 u = r^2/2, du = r dr, 则 ∫_{0}^{+∞} e^{-r^2/2} r dr = ∫_{0}^{+∞} e^{-u} du = 1。再对 θ 积分：∫_{0}^{2π} dθ = 2π。因此 I^2 = 2π，由于 I>0，故 I = √(2π)。
公式：I^2 = ∫_{0}^{2π}∫_{0}^{+∞} e^{-r^2/2} r dr dθ = 2π
提示：注意极坐标变换时雅可比行列式为 r，且积分限要正确对应。
步骤 2/3
目标：计算 ∫_{-∞}^{+∞} e^{-x^2/2 + x} dx
对指数部分配方：-x^2/2 + x = -1/2 (x^2 - 2x) = -1/2 [(x-1)^2 - 1] = -(x-1)^2/2 + 1/2。因此 e^{-x^2/2 + x} = e^{1/2} · e^{-(x-1)^2/2}。积分变为 e^{1/2} ∫_{-∞}^{+∞} e^{-(x-1)^2/2} dx。令 t = x-1, dx = dt, 积分限不变，得 ∫_{-∞}^{+∞} e^{-(x-1)^2/2} dx = ∫_{-∞}^{+∞} e^{-t^2/2} dt = √(2π)。所以原积分 = √(2π) e^{1/2}。
公式：∫_{-∞}^{+∞} e^{-x^2/2 + x} dx = e^{1/2} √(2π)
提示：配方时注意符号，变量代换后积分限不变。
步骤 3/3
目标：补充说明：若题目为 ∫_{-∞}^{+∞} x^2 e^{-x^2} dx 的计算
已知 ∫_{-∞}^{+∞} e^{-x^2} dx = √π。考虑含参积分 F(a) = ∫_{-∞}^{+∞} e^{-a x^2} dx = √(π/a), a>0。两边对 a 求导：F'(a) = -∫_{-∞}^{+∞} x^2 e^{-a x^2} dx = -1/2 √π a^{-3/2}。因此 ∫_{-∞}^{+∞} x^2 e^{-a x^2} dx = (√π/2) a^{-3/2}。令 a=1，得 ∫_{-∞}^{+∞} x^2 e^{-x^2} dx = √π/2。
公式：∫_{-∞}^{+∞} x^2 e^{-x^2} dx = √π/2
提示：求导时注意对参数 a 的运算，且积分与求导可交换次序需验证一致收敛性。
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