福州大学 2025年数学分析第7题
📝 题目
7、（20 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续，定义 $\displaystyle \alpha$ —阶积分算子（ $\displaystyle \alpha>0$ ）： $\displaystyle I^{\alpha} f(x)=\frac{1}{\Gamma(\alpha)} \int_{0}^{x}(x-s)^{\alpha-1} f(s) \mathrm{d} s$ ，其中 $\displaystyle \Gamma(\alpha)$ 为伽马函数。
利用积分换序原理证明：当 $\displaystyle \mathbf{\alpha}, \mathbf{\beta}>\mathbf{0}$ 时，有
$$
I^{\alpha}\left(I^{\beta} f(x)\right)=I^{\alpha+\beta} f(x)=I^{\beta}\left(I^{\alpha} f(x)\right) .
$$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：写出复合算子 I^α(I^β f)(x) 的表达式
根据定义，\(I^\alpha f(x) = \frac{1}{\Gamma(\alpha)} \int_0^x (x-s)^{\alpha-1} f(s)\, ds\)。先对 \(f\) 作用 \(I^\beta\)，再作用 \(I^\alpha\)，得到：
\[ I^\alpha\big(I^\beta f\big)(x) = \frac{1}{\Gamma(\alpha)} \int_0^x (x-t)^{\alpha-1} \big(I^\beta f\big)(t)\, dt \]
其中 \(\big(I^\beta f\big)(t) = \frac{1}{\Gamma(\beta)} \int_0^t (t-s)^{\beta-1} f(s)\, ds\)。代入得：
\[ I^\alpha\big(I^\beta f\big)(x) = \frac{1}{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)} \int_0^x (x-t)^{\alpha-1} \left( \int_0^t (t-s)^{\beta-1} f(s)\, ds \right) dt \]
公式：I^\alpha\big(I^\beta f\big)(x) = \frac{1}{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)} \int_0^x \int_0^t (x-t)^{\alpha-1} (t-s)^{\beta-1} f(s)\, ds\, dt
提示：注意积分变量不要混淆，内层积分变量为 s，外层为 t。
步骤 2/5
目标：交换积分次序
积分区域为 \(0 \le s \le t \le x\)，因此可以交换积分次序，先对 \(t\) 积分，再对 \(s\) 积分：
\[ I^\alpha\big(I^\beta f\big)(x) = \frac{1}{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)} \int_0^x f(s) \left( \int_s^x (x-t)^{\alpha-1} (t-s)^{\beta-1}\, dt \right) ds \]
公式：\int_0^x \int_0^t \cdots\, ds\, dt = \int_0^x \int_s^x \cdots\, dt\, ds
提示：交换次序时注意积分限的变化：s 从 0 到 x，t 从 s 到 x。
步骤 3/5
目标：计算内层积分
令 \(u = \frac{t-s}{x-s}\)，则 \(t = s + u(x-s)\)，\(dt = (x-s) du\)，且当 \(t=s\) 时 \(u=0\)，当 \(t=x\) 时 \(u=1\)。同时 \(x-t = (x-s)(1-u)\)，\(t-s = (x-s)u\)。代入内层积分：
\[ \int_s^x (x-t)^{\alpha-1} (t-s)^{\beta-1}\, dt = \int_0^1 \big((x-s)(1-u)\big)^{\alpha-1} \big((x-s)u\big)^{\beta-1} (x-s)\, du \]
提取因子 \((x-s)^{\alpha+\beta-1}\)：
\[ = (x-s)^{\alpha+\beta-1} \int_0^1 (1-u)^{\alpha-1} u^{\beta-1}\, du \]
该积分为 Beta 函数：\(B(\alpha,\beta) = \int_0^1 u^{\beta-1}(1-u)^{\alpha-1} du = \frac{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}{\Gamma(\alpha+\beta)}\)。因此内层积分结果为：
\[ (x-s)^{\alpha+\beta-1} \cdot \frac{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}{\Gamma(\alpha+\beta)} \]
公式：\int_s^x (x-t)^{\alpha-1} (t-s)^{\beta-1}\, dt = (x-s)^{\alpha+\beta-1} \frac{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}{\Gamma(\alpha+\beta)}
提示：变量替换后注意积分限的变化，并正确提取公因子。
步骤 4/5
目标：代回原式并化简
将内层积分结果代入：
\[ I^\alpha\big(I^\beta f\big)(x) = \frac{1}{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)} \int_0^x f(s) \cdot (x-s)^{\alpha+\beta-1} \frac{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}{\Gamma(\alpha+\beta)}\, ds \]
消去 \(\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)\) 得：
\[ = \frac{1}{\Gamma(\alpha+\beta)} \int_0^x (x-s)^{\alpha+\beta-1} f(s)\, ds \]
这正是 \(I^{\alpha+\beta} f(x)\) 的定义。
公式：I^\alpha\big(I^\beta f\big)(x) = \frac{1}{\Gamma(\alpha+\beta)} \int_0^x (x-s)^{\alpha+\beta-1} f(s)\, ds = I^{\alpha+\beta} f(x)
提示：注意 Gamma 函数的约简，确保系数正确。
步骤 5/5
目标：说明对称性并得出结论
由于 \(\alpha\) 和 \(\beta\) 在推导过程中完全对称，交换顺序同样可得：
\[ I^\beta\big(I^\alpha f\big)(x) = I^{\alpha+\beta} f(x) \]
因此对任意 \(\alpha,\beta>0\)，有：
\[ I^\alpha\left(I^\beta f(x)\right) = I^{\alpha+\beta} f(x) = I^\beta\left(I^\alpha f(x)\right) \]
公式：I^\alpha\left(I^\beta f(x)\right)=I^{\alpha+\beta} f(x)=I^\beta\left(I^\alpha f(x)\right)
提示：对称性由积分次序交换和变量替换的对称性保证。
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