苏州大学 2023年数学分析第4题
📝 题目
4．（10 分）求含参量积分 $\displaystyle I(a)=\int_{0}^{+\infty} e^{-\frac{1}{2} x^{2}} \cos (a x) \mathrm{d} x$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：建立微分方程
对参数 $a$ 求导，得到 $I'(a) = \int_{0}^{+\infty} e^{-\frac{1}{2}x^{2}} \cdot (-x \sin(ax)) \, \mathrm{d}x = -\int_{0}^{+\infty} x e^{-\frac{1}{2}x^{2}} \sin(ax) \, \mathrm{d}x$。
公式：I'(a) = -\int_{0}^{+\infty} x e^{-\frac{1}{2}x^{2}} \sin(ax) \, \mathrm{d}x
提示：注意对参数求导时，积分与求导可交换次序的条件（被积函数连续且偏导数一致收敛），此处满足。
步骤 2/5
目标：分部积分消去 x 因子
令 $u = \sin(ax)$，$\mathrm{d}v = x e^{-\frac{1}{2}x^{2}} \mathrm{d}x = -\mathrm{d}\left(e^{-\frac{1}{2}x^{2}}\right)$，取 $v = -e^{-\frac{1}{2}x^{2}}$。分部积分得：
$\int_{0}^{+\infty} u \, \mathrm{d}v = \left[ u v \right]_{0}^{+\infty} - \int_{0}^{+\infty} v \, \mathrm{d}u$。
边界项 $\left[ -e^{-\frac{1}{2}x^{2}} \sin(ax) \right]_{0}^{+\infty} = 0$（上界指数衰减，下界 $\sin 0=0$）。
于是 $I'(a) = -\left( 0 - \int_{0}^{+\infty} (-e^{-\frac{1}{2}x^{2}}) \cdot a \cos(ax) \, \mathrm{d}x \right) = -a \int_{0}^{+\infty} e^{-\frac{1}{2}x^{2}} \cos(ax) \, \mathrm{d}x = -a I(a)$。
公式：I'(a) = -a I(a)
提示：分部积分时注意符号处理，$\mathrm{d}u = a \cos(ax) \mathrm{d}x$，不要遗漏因子 $a$。
步骤 3/5
目标：解微分方程
得到一阶线性齐次微分方程 $I'(a) = -a I(a)$。分离变量：$\frac{\mathrm{d}I}{I} = -a \, \mathrm{d}a$，两边积分得 $\ln |I(a)| = -\frac{a^{2}}{2} + C$，故 $I(a) = C e^{-\frac{a^{2}}{2}}$。
公式：I(a) = C e^{-\frac{a^{2}}{2}}
提示：积分常数 $C$ 需通过初始条件确定。
步骤 4/5
目标：确定常数 C
令 $a=0$，则 $I(0) = \int_{0}^{+\infty} e^{-\frac{1}{2}x^{2}} \, \mathrm{d}x$。已知高斯积分 $\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\frac{1}{2}x^{2}} \mathrm{d}x = \sqrt{2\pi}$，由偶函数性质得 $I(0) = \frac{\sqrt{2\pi}}{2} = \sqrt{\frac{\pi}{2}}$。因此 $C = \sqrt{\frac{\pi}{2}}$。
公式：I(0) = \sqrt{\frac{\pi}{2}}
提示：高斯积分公式 $\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\alpha x^{2}} \mathrm{d}x = \sqrt{\frac{\pi}{\alpha}}$（$\alpha>0$），此处 $\alpha = \frac{1}{2}$。
步骤 5/5
目标：写出最终结果
将常数 $C$ 代入 $I(a) = C e^{-\frac{a^{2}}{2}}$，得到 $I(a) = \sqrt{\frac{\pi}{2}} \, e^{-\frac{a^{2}}{2}}$。
公式：I(a) = \sqrt{\frac{\pi}{2}} \, e^{-\frac{a^{2}}{2}}
提示：最终结果可简记为 $\sqrt{\frac{\pi}{2}} e^{-a^{2}/2}$。
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