苏州大学 2023年数学分析第8题
📝 题目
8．（15 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上连续，且存在正数 $\displaystyle \alpha$ ，使得 $\displaystyle f(x) \leq \alpha \int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ ，证明：对任意的 $\displaystyle x \geq 0$ ，有 $\displaystyle f(x) \leq 0$.
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：引入辅助函数并转化条件
令 $F(x) = \int_0^x f(t) \, dt$，由 $f$ 连续知 $F$ 在 $[0,+\infty)$ 上可导，且 $F'(x)=f(x)$，$F(0)=0$。原不等式化为 $F'(x) \le \alpha F(x)$，$\forall x \ge 0$。
公式：F'(x) \le \alpha F(x)
提示：注意 $F(0)=0$ 是后续推导的关键初始条件。
步骤 2/4
目标：构造微分不等式并乘以积分因子
将不等式改写为 $F'(x) - \alpha F(x) \le 0$，两边乘以正数 $e^{-\alpha x}$，得 $e^{-\alpha x}F'(x) - \alpha e^{-\alpha x}F(x) \le 0$。左边恰好是 $(e^{-\alpha x}F(x))'$。
公式：\frac{d}{dx}\left(e^{-\alpha x}F(x)\right) \le 0
提示：积分因子 $e^{-\alpha x}$ 的选择是为了凑出导数形式。
步骤 3/4
目标：由导数非正得到函数单调性并推出 $F(x) \le 0$
导数 $\le 0$ 意味着 $e^{-\alpha x}F(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上单调不增。对任意 $x \ge 0$，有 $e^{-\alpha x}F(x) \le e^{-\alpha \cdot 0}F(0)=0$。由于 $e^{-\alpha x}>0$，故 $F(x) \le 0$。
公式：e^{-\alpha x}F(x) \le 0 \Rightarrow F(x) \le 0
提示：单调不增性需结合 $F(0)=0$ 才能得到非正结论。
步骤 4/4
目标：利用 $F(x) \le 0$ 和原不等式推出 $f(x) \le 0$
由 $F(x) \le 0$ 及原不等式 $f(x) \le \alpha \int_0^x f(t) \, dt = \alpha F(x)$，因为 $\alpha > 0$，所以右边 $\le 0$，从而 $f(x) \le 0$。
公式：f(x) \le \alpha F(x) \le 0
提示：注意 $\alpha>0$ 保证不等号方向不变。
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