苏州大学 2025年数学分析第1题
📝 题目
1、设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{\sin \left(x^{2}\right)}{x^{2}}, x \neq 0 \\ 1, x=0\end{array}\right.$ ，求 $\displaystyle f^{(2024)}(0)$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：将函数展开为幂级数形式
首先，我们知道 $\sin t$ 的麦克劳林级数为：
$$\sin t = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} t^{2n+1}$$
令 $t = x^2$，代入得：
$$\sin(x^2) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{4n+2}$$
当 $x \neq 0$ 时，$f(x) = \frac{\sin(x^2)}{x^2} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{4n}$。
由于 $x=0$ 时级数也收敛到 $1$，因此对所有 $x$ 有：
$$f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{4n}$$
公式：$$f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{4n}$$
提示：注意 $\sin(x^2)$ 展开后 $x$ 的指数为 $4n+2$，除以 $x^2$ 后指数变为 $4n$，且 $x=0$ 处定义与级数一致。
步骤 2/4
目标：由幂级数系数确定导数公式
若函数可展开为 $f(x) = \sum_{k=0}^\infty a_k x^k$，则 $f^{(m)}(0) = m! \cdot a_m$。
在本题的展开中，只有指数 $k = 4n$（$n=0,1,2,\dots$）的项系数非零，系数为：
$$a_{4n} = \frac{(-1)^n}{(2n+1)!}$$
其他指数对应的系数为 $0$。
公式：$$f^{(m)}(0) = m! \cdot a_m$$
提示：注意只有当 $m$ 是 $4$ 的倍数时，$a_m$ 才非零，否则导数为 $0$。
步骤 3/4
目标：判断2024是否为4的倍数并确定n
计算 $2024 \div 4 = 506$，正好整除，因此 $2024 = 4 \times 506$，即 $n = 506$。
于是对应的系数为：
$$a_{2024} = \frac{(-1)^{506}}{(2 \times 506 + 1)!} = \frac{(-1)^{506}}{(1013)!}$$
由于 $506$ 是偶数，$(-1)^{506} = 1$，所以：
$$a_{2024} = \frac{1}{(1013)!}$$
公式：$$a_{2024} = \frac{1}{(1013)!}$$
提示：注意 $2n+1 = 2 \times 506 + 1 = 1013$，不要算错阶乘的底数。
步骤 4/4
目标：计算2024阶导数
根据导数公式 $f^{(2024)}(0) = 2024! \cdot a_{2024}$，代入 $a_{2024} = \frac{1}{(1013)!}$ 得：
$$f^{(2024)}(0) = 2024! \cdot \frac{1}{(1013)!} = \frac{2024!}{1013!}$$
公式：$$f^{(2024)}(0) = \frac{2024!}{1013!}$$
提示：结果保留阶乘形式即可，无需进一步化简。
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