西南交通大学 2025年数学分析第12题
📝 题目
12．（15 分）求 $\displaystyle \iint_{\Sigma} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y, \Sigma$ 为上半球面 $\displaystyle z=\sqrt{R^{2}-x^{2}-y^{2}}, R>0$ ，方向取上侧．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：分析曲面类型，考虑使用高斯公式
题目要求计算第二类曲面积分 $\iint_{\Sigma} x \, dy \, dz + y \, dz \, dx + z \, dx \, dy$，其中 $\Sigma$ 是上半球面 $z = \sqrt{R^2 - x^2 - y^2}$，方向取上侧。由于曲面不封闭，我们考虑补上底面 $\Sigma_2: z = 0, x^2 + y^2 \le R^2$，方向取下侧，使得 $\Sigma \cup \Sigma_2$ 构成封闭曲面，且方向为外侧。
公式：高斯公式：$\iint_{\partial V} P \, dy \, dz + Q \, dz \, dx + R \, dx \, dy = \iiint_V \left( \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z} \right) dV$
提示：注意第二类曲面积分的方向性：封闭曲面取外侧时才能直接使用高斯公式。上半球面的上侧已经是外侧，因此底面必须取下侧。
步骤 2/4
目标：应用高斯公式计算封闭曲面的积分
令 $P = x, Q = y, R = z$，则散度为 $\frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z} = 1 + 1 + 1 = 3$。封闭曲面 $\Sigma \cup \Sigma_2$ 所围成的区域 $V$ 是上半球体，体积为 $\frac{2}{3}\pi R^3$。因此，由高斯公式得：
$$
\iint_{\Sigma \cup \Sigma_2} x \, dy \, dz + y \, dz \, dx + z \, dx \, dy = \iiint_V 3 \, dV = 3 \cdot \frac{2}{3}\pi R^3 = 2\pi R^3.
$$
公式：$\iiint_V 3 \, dV = 3 \times \text{半球体积} = 2\pi R^3$
提示：半球体积公式为 $\frac{2}{3}\pi R^3$，不要误用为球体体积。
步骤 3/4
目标：计算底面积分
在底面 $\Sigma_2: z=0, x^2+y^2 \le R^2$ 上，方向取下侧。由于 $z=0$，所以 $z \, dx \, dy = 0$。另外，在底面上 $z$ 是常数，故 $dz=0$，因此 $x \, dy \, dz = 0$ 和 $y \, dz \, dx = 0$。所以整个底面积分为零：
$$
\iint_{\Sigma_2} x \, dy \, dz + y \, dz \, dx + z \, dx \, dy = 0.
$$
公式：当 $z=0$ 且 $dz=0$ 时，所有项均为零。
提示：注意方向取下侧并不影响被积函数的值，因为被积函数本身为零。
步骤 4/4
目标：得到上半球面的积分结果
由封闭曲面积分等于上半球面与底面积分之和：
$$
\iint_{\Sigma} + \iint_{\Sigma_2} = 2\pi R^3,
$$
且 $\iint_{\Sigma_2} = 0$，因此上半球面的积分为：
$$
\iint_{\Sigma} x \, dy \, dz + y \, dz \, dx + z \, dx \, dy = 2\pi R^3.
$$
公式：$\iint_{\Sigma} = 2\pi R^3$
提示：最终结果与 $R$ 有关，注意单位。
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