西南交通大学 2025年数学分析第2题
📝 题目
2．（10 分）设 $\displaystyle f(x)$ 是 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上周期为 $T$ 的连续函数．证明： $\displaystyle \lim _{t \rightarrow+\infty} \frac{1}{t} \int_{0}^{t} f(x) \mathrm{d} x=\frac{1}{T} \int_{0}^{T} f(x) \mathrm{d} x$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：理解题意与符号
已知 \( f(x) \) 是周期为 \( T \) 的连续函数，即对任意实数 \( x \)，有 \( f(x+T) = f(x) \)。要证明：
\[
\lim_{t \to +\infty} \frac{1}{t} \int_0^t f(x) \, dx = \frac{1}{T} \int_0^T f(x) \, dx.
\]
左边是函数在区间 \([0,t]\) 上的平均值当 \(t\) 趋于无穷时的极限，右边是它在一个周期内的平均值。
公式：f(x+T)=f(x)
提示：注意周期函数的定义域是全体实数，连续性保证积分存在且可进行分段处理。
步骤 2/6
目标：将积分按周期分段
对任意大的正数 \(t\)，将其表示为 \( t = nT + r \)，其中 \( n = \lfloor t/T \rfloor \) 是整数部分，\( 0 \le r < T \)。于是积分可拆分为：
\[
\int_0^t f(x)\,dx = \int_0^{nT} f(x)\,dx + \int_{nT}^{nT+r} f(x)\,dx.
\]
公式：t = nT + r, \quad n = \lfloor t/T \rfloor, \quad 0 \le r < T
提示：分段时注意余项 \(r\) 的范围是 \([0,T)\)，这是利用周期性的关键。
步骤 3/6
目标：利用周期性简化整周期部分
由于 \(f\) 周期为 \(T\)，每个长度为 \(T\) 的区间上的积分相等：
\[
\int_{kT}^{(k+1)T} f(x)\,dx = \int_0^T f(x)\,dx, \quad k=0,1,2,\dots
\]
因此前 \(n\) 个整周期的积分和为：
\[
\int_0^{nT} f(x)\,dx = n \int_0^T f(x)\,dx.
\]
公式：\int_0^{nT} f(x)\,dx = n \int_0^T f(x)\,dx
提示：周期性是核心，确保每个周期积分值相同。
步骤 4/6
目标：处理余项并估计有界性
利用周期性，余项可化为：
\[
\int_{nT}^{nT+r} f(x)\,dx = \int_0^r f(x)\,dx.
\]
由于 \(f\) 在闭区间 \([0,T]\) 上连续，故存在最大值 \(M\)，使得：
\[
\left| \int_0^r f(x)\,dx \right| \le M T, \quad \forall r \in [0,T).
\]
因此余项是有界的。
公式：\left| \int_0^r f(x)\,dx \right| \le M T
提示：连续性保证了有界性，这是处理极限时余项趋于零的基础。
步骤 5/6
目标：写出平均值表达式并取极限
将分段结果代入平均值：
\[
\frac{1}{t} \int_0^t f(x)\,dx = \frac{1}{nT+r} \left( n \int_0^T f(x)\,dx + \int_0^r f(x)\,dx \right).
\]
改写为：
\[
= \frac{n}{nT+r} \int_0^T f(x)\,dx + \frac{1}{nT+r} \int_0^r f(x)\,dx.
\]
当 \(t \to +\infty\) 时，\(n \to \infty\)，且 \(r\) 有界，于是：
\[
\frac{n}{nT+r} \to \frac{1}{T}, \quad \frac{1}{nT+r} \int_0^r f(x)\,dx \to 0.
\]
因此极限为：
\[
\frac{1}{T} \int_0^T f(x)\,dx.
\]
公式：\lim_{t \to +\infty} \frac{1}{t} \int_0^t f(x)\,dx = \frac{1}{T} \int_0^T f(x)\,dx
提示：注意分母 \(nT+r\) 中 \(n\) 是主要项，\(r\) 有界不影响极限。
步骤 6/6
目标：结论
这样就完成了证明，结论成立。
公式：\boxed{\lim _{t \rightarrow+\infty} \frac{1}{t} \int_{0}^{t} f(x) \mathrm{d} x=\frac{1}{T} \int_{0}^{T} f(x) \mathrm{d} x}
提示：该结论是周期函数平均值定理的经典形式。
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