西南交通大学 2025年数学分析第5题
📝 题目
5．（15 分）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [1,+\infty)$ 上连续，在 $\displaystyle (1,+\infty)$ 上可导，已知函数 $\displaystyle e^{-x} f^{\prime}(x)$ 在 $\displaystyle (1,+\infty)$ 上有界，证明：函数 $\displaystyle e^{-x} f(x)$ 在 $\displaystyle (1,+\infty)$ 上也有界．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：明确已知条件和目标
已知函数 $f(x)$ 在 $[1, +\infty)$ 上连续，在 $(1, +\infty)$ 上可导。存在常数 $M > 0$，使得对所有 $x > 1$ 有 $|e^{-x} f'(x)| \le M$，即 $|f'(x)| \le M e^{x}$。需要证明 $e^{-x} f(x)$ 在 $(1, +\infty)$ 上有界。
公式：|f'(x)| \le M e^{x}
提示：注意已知条件是对导数乘以指数函数的整体有界，而不是导数本身有界，因此需要先转化为导数的不等式。
步骤 2/5
目标：将目标函数与导数通过积分联系起来
考虑任意 $x > 1$，由牛顿-莱布尼茨公式，有 $f(x) = f(1) + \int_{1}^{x} f'(t) \, dt$。两边取绝对值并利用三角不等式，得到 $|f(x)| \le |f(1)| + \int_{1}^{x} |f'(t)| \, dt$。
公式：f(x) = f(1) + \int_{1}^{x} f'(t) \, dt
提示：这里利用了 $f$ 在 $[1, x]$ 上的连续可导性，积分区间从1开始是因为1是定义域左端点。
步骤 3/5
目标：利用导数有界条件估计积分
将 $|f'(t)| \le M e^{t}$ 代入积分，得到 $\int_{1}^{x} |f'(t)| \, dt \le M \int_{1}^{x} e^{t} \, dt = M(e^{x} - e)$。因此 $|f(x)| \le |f(1)| + M(e^{x} - e)$。
公式：\int_{1}^{x} |f'(t)| \, dt \le M(e^{x} - e)
提示：计算 $\int e^{t} dt = e^{t}$，注意代入上下限时不要遗漏常数项。
步骤 4/5
目标：估计目标函数 $e^{-x} f(x)$ 的有界性
将上一步的不等式两边乘以 $e^{-x}$，得到 $|e^{-x} f(x)| \le e^{-x} |f(1)| + M(1 - e^{1-x})$。由于 $x > 1$，有 $e^{-x} \le 1$ 且 $0 < e^{1-x} \le 1$，因此 $|e^{-x} f(x)| \le |f(1)| + M$。
公式：|e^{-x} f(x)| \le |f(1)| + M
提示：注意 $e^{-x} |f(1)| \le |f(1)|$ 是因为 $e^{-x} \le 1$，而 $M(1 - e^{1-x}) \le M$ 是因为 $e^{1-x} > 0$。
步骤 5/5
目标：得出结论
对于任意 $x > 1$，$|e^{-x} f(x)| \le |f(1)| + M$ 成立，该上界与 $x$ 无关，因此 $e^{-x} f(x)$ 在 $(1, +\infty)$ 上有界。证毕。
公式：\sup_{x > 1} |e^{-x} f(x)| \le |f(1)| + M
提示：有界性的证明关键是找到一个与自变量无关的常数作为上界，这里 $|f(1)| + M$ 即为所求。
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