西南交通大学 2026年数学分析第11题
📝 题目
11、设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上可导， $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} f(x) d x$ 收敛，证明：存在 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\} \rightarrow+\infty$ 使得
$$
\lim _{n \rightarrow \infty} f^{\prime}\left(x_{n}\right)=0 .
$$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：明确已知条件和目标
已知 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上可导，且反常积分 $\int_0^{+\infty} f(x) \, dx$ 收敛。要证明存在数列 $\{x_n\} \to +\infty$ 使得 $\lim_{n \to \infty} f'(x_n) = 0$。
公式：\int_0^{+\infty} f(x) \, dx \text{ 收敛}
提示：注意反常积分收敛意味着 $\lim_{b \to \infty} \int_0^b f(x) \, dx$ 存在且有限。
步骤 2/6
目标：反证法假设
假设结论不成立，即不存在这样的点列。则存在 $\varepsilon_0 > 0$ 和 $A > 0$，使得对所有 $x \ge A$，都有 $|f'(x)| \ge \varepsilon_0$。
公式：\forall x \ge A, \ |f'(x)| \ge \varepsilon_0 > 0
提示：这里需要利用反证法，假设导数在无穷远处不趋于0，从而推出矛盾。
步骤 3/6
目标：利用导数的介值性判断符号
由导数的介值性（达布定理），若 $f'$ 在 $[A, +\infty)$ 上变号，则必存在零点，从而存在导数为0的点列趋于无穷，与假设矛盾。因此 $f'$ 在 $[A, +\infty)$ 上不变号，不妨设 $f'(x) \ge \varepsilon_0$（若 $f'(x) \le -\varepsilon_0$ 同理）。
公式：f'(x) \ge \varepsilon_0 \quad \text{或} \quad f'(x) \le -\varepsilon_0
提示：达布定理保证导函数具有介值性，这是分析中容易忽略的点。
步骤 4/6
目标：由导数下界推出函数增长或衰减
若 $f'(x) \ge \varepsilon_0$ 对所有 $x \ge A$ 成立，则对任意 $t > A$，由拉格朗日中值定理或积分得：
$$f(t) = f(A) + \int_A^t f'(x) \, dx \ge f(A) + \varepsilon_0 (t - A).$$
当 $t \to +\infty$ 时，$f(t) \to +\infty$。
公式：f(t) \ge f(A) + \varepsilon_0 (t - A)
提示：注意积分不等式方向，导数下界导致函数线性增长。
步骤 5/6
目标：导出与积分收敛的矛盾
由于 $f(t) \to +\infty$，存在 $T > A$ 使得当 $x \ge T$ 时 $f(x) \ge 1$，从而 $\int_T^{+\infty} f(x) \, dx$ 发散（被积函数最终大于常数），这与 $\int_0^{+\infty} f(x) \, dx$ 收敛矛盾。若 $f'(x) \le -\varepsilon_0$，则 $f(t) \to -\infty$，同样导致积分发散。
公式：\int_T^{+\infty} f(x) \, dx \text{ 发散}
提示：反常积分收敛的必要条件是被积函数趋于0，这里函数趋于无穷，必然发散。
步骤 6/6
目标：得出结论
反证假设导致矛盾，故原结论成立：存在数列 $\{x_n\} \to +\infty$ 使得 $\lim_{n \to \infty} f'(x_n) = 0$。
公式：\exists \{x_n\} \to +\infty, \ \lim_{n \to \infty} f'(x_n) = 0
提示：证明完成，注意逻辑链条的严密性。
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