西南交通大学 2026年数学分析第9题
📝 题目
9、设 $\displaystyle f=\varphi(|x y|), \varphi(0)=0$ ，原点附近 $\displaystyle |\varphi(u)| \leq u^{2}$ ，证明：$f$ 在原点可微．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：明确已知条件与待证目标
函数定义为 $f(x,y) = \varphi(|xy|)$，其中 $\varphi(0)=0$，且在原点附近（即 $u$ 足够小时）满足 $|\varphi(u)| \le u^2$。要证明 $f$ 在原点 $(0,0)$ 处可微。
公式：$f(x,y) = \varphi(|xy|),\quad |\varphi(u)| \le u^2$
提示：注意 $\varphi$ 只依赖于 $|xy|$，且条件在 $u$ 很小时成立，这为后续放缩提供了依据。
步骤 2/5
目标：回忆可微定义并计算偏导数
二元函数 $f$ 在原点可微，即存在常数 $A,B$ 使得 $f(x,y)-f(0,0)-Ax-By = o(\sqrt{x^2+y^2})$。由于 $f(0,0)=\varphi(0)=0$，先计算偏导数：
$f_x(0,0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}$，当 $y=0$ 时 $|xy|=0$，故 $f(h,0)=\varphi(0)=0$，分子为0，极限为0；同理 $f_y(0,0)=0$。因此线性部分为 $0\cdot x+0\cdot y=0$。
公式：$f_x(0,0)=0,\quad f_y(0,0)=0$
提示：偏导数为0是因为沿坐标轴函数恒为0，但注意这并不自动保证可微，仍需验证余项条件。
步骤 3/5
目标：将可微条件转化为余项估计
需要证明 $\frac{|f(x,y)-0-0|}{\sqrt{x^2+y^2}} \to 0$ 当 $(x,y)\to(0,0)$，即 $\frac{|\varphi(|xy|)|}{\sqrt{x^2+y^2}} \to 0$。由已知条件 $|\varphi(|xy|)| \le (|xy|)^2 = x^2 y^2$，因此 $\frac{|\varphi(|xy|)|}{\sqrt{x^2+y^2}} \le \frac{x^2 y^2}{\sqrt{x^2+y^2}}$。
公式：$\frac{|\varphi(|xy|)|}{\sqrt{x^2+y^2}} \le \frac{x^2 y^2}{\sqrt{x^2+y^2}}$
提示：这里用到了 $|\varphi(u)|\le u^2$，且 $u=|xy|$，注意 $u$ 非负。
步骤 4/5
目标：放缩上界并证明趋于0
利用 $|x| \le \sqrt{x^2+y^2}$，$|y| \le \sqrt{x^2+y^2}$，得 $x^2 y^2 \le (x^2+y^2)^2$，于是 $\frac{x^2 y^2}{\sqrt{x^2+y^2}} \le \frac{(x^2+y^2)^2}{\sqrt{x^2+y^2}} = (x^2+y^2)^{3/2}$。当 $(x,y)\to(0,0)$ 时，$(x^2+y^2)^{3/2}\to 0$，故 $\frac{|\varphi(|xy|)|}{\sqrt{x^2+y^2}} \to 0$，满足可微条件。
公式：$\frac{x^2 y^2}{\sqrt{x^2+y^2}} \le (x^2+y^2)^{3/2} \to 0$
提示：注意放缩方向：分子放大，分母不变，保证不等式成立；最终趋于0说明余项是 $o(\sqrt{x^2+y^2})$。
步骤 5/5
目标：得出结论
因此，$f$ 在原点可微，且全微分为 $df(0,0)=0$。
公式：$f$ 在原点可微，$df(0,0)=0$
提示：可微性得证，注意这里偏导数为0，全微分也为0。
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