西南财经大学 2025年数学分析第1题
📝 题目
1、求极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} e^{-x}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x^{2}}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：改写表达式，取对数简化极限
设 $L = \lim_{x \to +\infty} e^{-x}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x^{2}}$。取自然对数得：
\[
\ln\left[ e^{-x}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x^{2}} \right] = -x + x^{2} \ln\left(1+\frac{1}{x}\right)
\]
因此原极限为：
\[
L = \exp\left( \lim_{x\to +\infty} \left[ -x + x^{2}\ln\left(1+\frac{1}{x}\right) \right] \right)
\]
公式：\ln\left[ e^{-x}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x^{2}} \right] = -x + x^{2} \ln\left(1+\frac{1}{x}\right)
提示：注意取对数后指数部分变为乘法，便于展开处理。
步骤 2/4
目标：对对数项进行泰勒展开
当 $x \to +\infty$ 时，$\frac{1}{x} \to 0$，利用泰勒展开：
\[
\ln\left(1+\frac{1}{x}\right) = \frac{1}{x} - \frac{1}{2x^{2}} + \frac{1}{3x^{3}} - \cdots
\]
代入 $x^{2}\ln\left(1+\frac{1}{x}\right)$ 得：
\[
x^{2}\ln\left(1+\frac{1}{x}\right) = x^{2}\left( \frac{1}{x} - \frac{1}{2x^{2}} + \frac{1}{3x^{3}} - \cdots \right) = x - \frac{1}{2} + \frac{1}{3x} - \cdots
\]
公式：\ln\left(1+\frac{1}{x}\right) = \frac{1}{x} - \frac{1}{2x^{2}} + \frac{1}{3x^{3}} - \cdots
提示：展开时注意保留足够项，直到能抵消 $-x$ 项并得到常数项。
步骤 3/4
目标：计算指数部分的极限
将展开结果代入指数部分：
\[
-x + x^{2}\ln\left(1+\frac{1}{x}\right) = -x + \left( x - \frac{1}{2} + \frac{1}{3x} - \cdots \right) = -\frac{1}{2} + \frac{1}{3x} - \cdots
\]
当 $x \to +\infty$ 时，$\frac{1}{3x} \to 0$，因此：
\[
\lim_{x\to +\infty} \left[ -x + x^{2}\ln\left(1+\frac{1}{x}\right) \right] = -\frac{1}{2}
\]
公式：\lim_{x\to +\infty} \left[ -x + x^{2}\ln\left(1+\frac{1}{x}\right) \right] = -\frac{1}{2}
提示：注意 $-x$ 与 $x$ 项抵消后，常数项 $ -\frac{1}{2}$ 是主要贡献，高阶项趋于0。
步骤 4/4
目标：还原原极限并得出最终结果
由 $L = \exp\left( \lim_{x\to +\infty} \left[ -x + x^{2}\ln\left(1+\frac{1}{x}\right) \right] \right)$，代入极限值：
\[
L = e^{-1/2}
\]
因此原极限为 $e^{-\frac{1}{2}}$。
公式：L = e^{-1/2}
提示：最终结果需以指数形式写出，注意 $e^{-1/2}$ 也可写作 $\frac{1}{\sqrt{e}}$。
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