西南财经大学 2025年数学分析第3题
📝 题目
3、设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续 $\displaystyle (a b>0)$ ，在 $\displaystyle (a, b)$ 上可导，证明：
$$
\frac{1}{b-a}\left|\begin{array}{cc}
a & b \\
f(a) & f(b)
\end{array}\right|=\xi f^{\prime}(\xi)-f(\xi), ~ \text { 其中 } \exists \xi \in(a, b) .
$$
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：化简行列式，明确待证等式
计算行列式得 $\begin{vmatrix} a & b \\ f(a) & f(b) \end{vmatrix} = a f(b) - b f(a)$，因此原式左边为 $\frac{1}{b-a}(a f(b) - b f(a))$。需要证明存在 $\xi \in (a,b)$ 使得该值等于 $\xi f'(\xi) - f(\xi)$。
公式：\frac{1}{b-a}(a f(b) - b f(a)) = \xi f'(\xi) - f(\xi)
提示：注意 $ab>0$ 保证 $a$ 和 $b$ 同号，区间不包含0。
步骤 2/6
目标：构造辅助函数，为应用柯西中值定理做准备
考虑函数 $g(x) = \frac{f(x)}{x}$ 和 $h(x) = \frac{1}{x}$。由于 $ab>0$，$x=0$ 不在区间 $[a,b]$ 内，故 $g(x)$ 和 $h(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，在 $(a,b)$ 内可导。
公式：g(x) = \frac{f(x)}{x}, \quad h(x) = \frac{1}{x}
提示：构造的关键是使导数中出现 $xf'(x)-f(x)$ 的形式。
步骤 3/6
目标：应用柯西中值定理
由柯西中值定理，存在 $\xi \in (a,b)$ 使得 $\frac{g(b)-g(a)}{h(b)-h(a)} = \frac{g'(\xi)}{h'(\xi)}$。
公式：\frac{g(b)-g(a)}{h(b)-h(a)} = \frac{g'(\xi)}{h'(\xi)}
提示：柯西中值定理要求分母 $h(b)-h(a) \neq 0$，这里 $a \neq b$ 且 $ab>0$ 保证成立。
步骤 4/6
目标：计算导数比值
计算 $g'(x) = \frac{x f'(x) - f(x)}{x^2}$，$h'(x) = -\frac{1}{x^2}$。于是 $\frac{g'(\xi)}{h'(\xi)} = \frac{\frac{\xi f'(\xi)-f(\xi)}{\xi^2}}{-\frac{1}{\xi^2}} = -\big(\xi f'(\xi) - f(\xi)\big)$。
公式：\frac{g'(\xi)}{h'(\xi)} = -\big(\xi f'(\xi) - f(\xi)\big)
提示：注意负号不要遗漏。
步骤 5/6
目标：化简柯西中值定理的左边
计算 $g(b)-g(a) = \frac{f(b)}{b} - \frac{f(a)}{a} = \frac{a f(b) - b f(a)}{ab}$，$h(b)-h(a) = \frac{1}{b} - \frac{1}{a} = \frac{a-b}{ab}$。因此 $\frac{g(b)-g(a)}{h(b)-h(a)} = \frac{\frac{a f(b)-b f(a)}{ab}}{\frac{a-b}{ab}} = \frac{a f(b)-b f(a)}{a-b}$。由于 $a-b = -(b-a)$，得 $\frac{a f(b)-b f(a)}{a-b} = -\frac{a f(b)-b f(a)}{b-a}$。
公式：\frac{g(b)-g(a)}{h(b)-h(a)} = -\frac{a f(b)-b f(a)}{b-a}
提示：通分时注意分母 $ab$ 不为0。
步骤 6/6
目标：联立等式并得出结论
由柯西中值定理，$\frac{g(b)-g(a)}{h(b)-h(a)} = \frac{g'(\xi)}{h'(\xi)}$，代入得 $-\frac{a f(b)-b f(a)}{b-a} = -\big(\xi f'(\xi) - f(\xi)\big)$。两边同时消去负号，即 $\frac{a f(b)-b f(a)}{b-a} = \xi f'(\xi) - f(\xi)$。而左边正是 $\frac{1}{b-a}\begin{vmatrix} a & b \\ f(a) & f(b) \end{vmatrix}$，故原命题得证。
公式：\frac{1}{b-a}\begin{vmatrix} a & b \\ f(a) & f(b) \end{vmatrix} = \xi f'(\xi) - f(\xi)
提示：注意行列式展开后符号的正确性。
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