西安理工大学 2024年数学分析第1题
📝 题目
1．求数列极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}(|\cos 1|+|\cos 2|+\cdots+|\cos n|)^{\frac{1}{n}}$ 。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：理解极限形式并初步判断趋势
我们要求极限 \(\lim_{n \to \infty} (|\cos 1| + |\cos 2| + \cdots + |\cos n|)^{1/n}\)。设 \(S_n = \sum_{k=1}^n |\cos k|\)。如果 \(S_n\) 与 \(n\) 成正比，即 \(S_n \sim c n\)，则 \((S_n)^{1/n} \to 1\)，因为 \((c n)^{1/n} = c^{1/n} n^{1/n} \to 1\)。因此关键在于判断 \(|\cos k|\) 的平均值是否存在且为正。
公式：S_n = \sum_{k=1}^n |\cos k|
提示：注意开n次方后，若和式线性增长，极限为1；若增长慢于线性，极限可能小于1。
步骤 2/5
目标：利用等分布理论求平均值
由于 \(\cos x\) 是周期为 \(\pi\) 的函数，且 \(\pi\) 是无理数，序列 \(\{\cos k\}\) 在 \([0,\pi]\) 上均匀分布。因此 \(|\cos k|\) 的平均值等于 \(\frac{1}{\pi} \int_0^\pi |\cos x| \, dx\)。计算积分：\(\int_0^\pi |\cos x| \, dx = 2 \int_0^{\pi/2} \cos x \, dx = 2 \cdot 1 = 2\)，所以平均值为 \(\frac{2}{\pi}\)。于是 \(\lim_{n \to \infty} \frac{S_n}{n} = \frac{2}{\pi}\)。
公式：\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n |\cos k| = \frac{2}{\pi}
提示：等分布理论需要用到π是无理数这一事实，否则若周期为有理数，平均值可能不同。
步骤 3/5
目标：由平均值推导极限为1
由 \(\frac{S_n}{n} \to \frac{2}{\pi} > 0\)，对任意 \(\epsilon > 0\)，当 \(n\) 足够大时，有 \(n(\frac{2}{\pi} - \epsilon) < S_n < n(\frac{2}{\pi} + \epsilon)\)。取 \(n\) 次方根得：\([n(\frac{2}{\pi} - \epsilon)]^{1/n} < S_n^{1/n} < [n(\frac{2}{\pi} + \epsilon)]^{1/n}\)。由于 \(\lim_{n \to \infty} n^{1/n} = 1\) 且 \(c^{1/n} \to 1\)（\(c>0\)），两边极限均为1，由夹逼定理得 \(\lim_{n \to \infty} S_n^{1/n} = 1\)。
公式：\lim_{n \to \infty} n^{1/n} = 1, \quad \lim_{n \to \infty} c^{1/n} = 1 \ (c>0)
提示：夹逼定理应用时注意不等式方向，且需确保下界为正数。
步骤 4/5
目标：严格化论证：使用Stolz定理或直接夹逼
另一种严格化方法：由 \(\lim_{n \to \infty} \frac{S_n}{n} = \frac{2}{\pi}\)，则 \(\ln S_n = \ln n + \ln(2/\pi) + o(1)\)，于是 \(\frac{\ln S_n}{n} = \frac{\ln n}{n} + \frac{\ln(2/\pi)}{n} + o(\frac{1}{n}) \to 0\)，故 \(S_n^{1/n} = e^{\ln S_n / n} \to e^0 = 1\)。此方法依赖于平均值极限的存在性。
公式：\lim_{n \to \infty} \frac{\ln S_n}{n} = 0
提示：注意 \(\ln S_n\) 的展开中，\(o(1)\) 项需谨慎处理，但夹逼法更直接。
步骤 5/5
目标：得出结论
综合以上分析，数列极限 \(\lim_{n \to \infty} (|\cos 1| + |\cos 2| + \cdots + |\cos n|)^{1/n}\) 的值为1。
公式：\boxed{1}
提示：最终答案简洁，但需确保每一步推理严密。
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