西安理工大学 2024年数学分析第3题
📝 题目
3．$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上可微，且 $\displaystyle f(1)=2 \int_{0}^{\frac{1}{2}} x f(x) d x$ ．证明：存在 $\displaystyle \xi \in(0,1)$ ，使 $\displaystyle f(\xi)+\xi f^{\prime}(\xi)=0$.
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：分析要证明的结论，转化为导数形式
要证明存在 $\xi \in (0,1)$ 使得 $f(\xi) + \xi f'(\xi) = 0$。注意到 $\frac{d}{dx}(x f(x)) = f(x) + x f'(x)$，因此结论等价于存在 $\xi \in (0,1)$ 使得 $\frac{d}{dx}(x f(x))\big|_{x=\xi} = 0$。令 $g(x) = x f(x)$，则需证存在 $\xi \in (0,1)$ 使 $g'(\xi) = 0$。
公式：g(x) = x f(x), \quad g'(x) = f(x) + x f'(x)
提示：注意将目标表达式与导数形式联系起来，这是使用 Rolle 定理的关键。
步骤 2/4
目标：考虑使用 Rolle 定理，寻找等值点
Rolle 定理要求函数在闭区间连续、开区间可导，且端点函数值相等。$g(x) = x f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续（因为 $f$ 可微则连续），在 $(0,1)$ 内可导。若能找到两个不同的点 $a, b \in [0,1]$ 使得 $g(a) = g(b)$，则存在 $\xi \in (a,b) \subset (0,1)$ 使 $g'(\xi)=0$。
公式：\text{Rolle 定理：若 } h \in C[a,b], h \in D(a,b), h(a)=h(b), \text{ 则 } \exists \xi \in (a,b), h'(\xi)=0
提示：Rolle 定理是证明导数零点存在的常用工具，需确保端点值相等。
步骤 3/4
目标：利用已知条件构造等值点
已知 $f(1) = 2 \int_0^{\frac12} x f(x) \, dx$。被积函数 $x f(x)$ 在 $[0,\frac12]$ 上连续，由积分中值定理，存在 $\eta \in [0,\frac12]$ 使得 $\int_0^{\frac12} x f(x) \, dx = \frac12 \cdot (\eta f(\eta))$。代入已知条件得 $f(1) = 2 \cdot \frac12 \cdot \eta f(\eta) = \eta f(\eta)$，即 $g(\eta) = \eta f(\eta) = f(1) = g(1)$。由于 $\eta \in [0,\frac12]$，而 $1 > \frac12$，故 $\eta \neq 1$。
公式：\int_0^{\frac12} x f(x) \, dx = \frac12 \cdot \eta f(\eta), \quad \eta \in [0,\frac12] \\ f(1) = \eta f(\eta) \Rightarrow g(\eta) = g(1)
提示：积分中值定理的应用需注意被积函数连续，且区间端点可能取到，但这里 $\eta$ 与 $1$ 不同。
步骤 4/4
目标：应用 Rolle 定理得出结论
函数 $g(x) = x f(x)$ 在区间 $[\eta, 1]$ 上满足 Rolle 定理的条件：在 $[\eta, 1]$ 上连续，在 $(\eta, 1)$ 内可导，且 $g(\eta) = g(1)$。因此存在 $\xi \in (\eta, 1) \subset (0,1)$ 使得 $g'(\xi) = 0$，即 $f(\xi) + \xi f'(\xi) = 0$。证明完成。
公式：\exists \xi \in (\eta, 1) \subset (0,1), \quad g'(\xi) = f(\xi) + \xi f'(\xi) = 0
提示：注意 $\eta$ 可能为 0，但 $\xi$ 仍属于 $(0,1)$，因为 $\xi > \eta \ge 0$ 且 $\xi < 1$。
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