西安理工大学 2024年数学分析第5题
📝 题目
5．$\displaystyle F(x)=\int_{0}^{x} e^{-t} \cos t d t$ ，求 $\displaystyle F(x)$ 在 $\displaystyle [0,2 \pi]$ 的最大值和最小值．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：求导数，分析单调性
由微积分基本定理，$F'(x) = e^{-x} \cos x$。在区间 $[0, 2\pi]$ 上，$e^{-x} > 0$，因此 $F'(x)$ 的符号由 $\cos x$ 决定。
- 当 $\cos x > 0$，即 $x \in [0, \frac{\pi}{2}) \cup (\frac{3\pi}{2}, 2\pi]$ 时，$F'(x) > 0$，函数递增；
- 当 $\cos x < 0$，即 $x \in (\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2})$ 时，$F'(x) < 0$，函数递减；
- 在 $x = \frac{\pi}{2}$ 和 $x = \frac{3\pi}{2}$ 处，$F'(x) = 0$，是可能的极值点。
公式：F'(x) = e^{-x} \cos x
提示：注意 $e^{-x}$ 恒正，符号只由 $\cos x$ 决定，不要忽略区间端点处的导数符号。
步骤 2/5
目标：找出可能的最值点
在闭区间 $[0, 2\pi]$ 上，最值可能出现在端点 $x=0$、$x=2\pi$，以及导数等于零的点 $x=\frac{\pi}{2}$、$x=\frac{3\pi}{2}$。
提示：闭区间最值需考虑所有临界点和端点。
步骤 3/5
目标：计算原函数的显式表达式
计算不定积分 $\int e^{-t} \cos t \, dt$。使用分部积分法：
令 $I = \int e^{-t} \cos t \, dt$，
第一次分部积分：$u = e^{-t}$，$dv = \cos t \, dt$，得 $du = -e^{-t} dt$，$v = \sin t$，
$I = e^{-t} \sin t + \int e^{-t} \sin t \, dt$。
第二次分部积分：对 $\int e^{-t} \sin t \, dt$，令 $u = e^{-t}$，$dv = \sin t \, dt$，得 $du = -e^{-t} dt$，$v = -\cos t$，
$\int e^{-t} \sin t \, dt = -e^{-t} \cos t - \int e^{-t} \cos t \, dt = -e^{-t} \cos t - I$。
代入得 $I = e^{-t} \sin t - e^{-t} \cos t - I$，
解得 $2I = e^{-t}(\sin t - \cos t)$，$I = \frac{1}{2} e^{-t}(\sin t - \cos t) + C$。
因此 $F(x) = \left[ \frac{1}{2} e^{-t}(\sin t - \cos t) \right]_{0}^{x} = \frac{1}{2} e^{-x}(\sin x - \cos x) - \frac{1}{2}(0 - 1) = \frac{1}{2} e^{-x}(\sin x - \cos x) + \frac{1}{2}$。
公式：F(x) = \frac{1}{2} e^{-x}(\sin x - \cos x) + \frac{1}{2}
提示：分部积分时注意符号，最后代入上下限时小心 $t=0$ 处的值。
步骤 4/5
目标：计算各关键点的函数值
1. $x=0$：$F(0) = \frac{1}{2} e^{0}(0-1) + \frac{1}{2} = -\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 0$。
2. $x=\frac{\pi}{2}$：$\sin\frac{\pi}{2}=1$，$\cos\frac{\pi}{2}=0$，$F(\frac{\pi}{2}) = \frac{1}{2} e^{-\pi/2}(1-0) + \frac{1}{2} = \frac{1}{2} e^{-\pi/2} + \frac{1}{2}$。
3. $x=\frac{3\pi}{2}$：$\sin\frac{3\pi}{2}=-1$，$\cos\frac{3\pi}{2}=0$，$F(\frac{3\pi}{2}) = \frac{1}{2} e^{-3\pi/2}(-1-0) + \frac{1}{2} = -\frac{1}{2} e^{-3\pi/2} + \frac{1}{2}$。
4. $x=2\pi$：$\sin 2\pi=0$，$\cos 2\pi=1$，$F(2\pi) = \frac{1}{2} e^{-2\pi}(0-1) + \frac{1}{2} = -\frac{1}{2} e^{-2\pi} + \frac{1}{2}$。
提示：代入时注意三角函数的准确值，指数部分不要算错。
步骤 5/5
目标：比较大小，确定最值
由于 $e^{-\pi/2} \approx 0.2079$，$e^{-3\pi/2} \approx 0.00898$，$e^{-2\pi} \approx 0.001867$，可得近似值：
$F(0)=0$，
$F(\pi/2) \approx 0.5 + 0.5 \times 0.2079 = 0.60395$，
$F(3\pi/2) \approx 0.5 - 0.5 \times 0.00898 = 0.49551$，
$F(2\pi) \approx 0.5 - 0.5 \times 0.001867 = 0.49907$。
比较可知，最大值在 $x=\pi/2$ 处取得，为 $\frac{1}{2} + \frac{1}{2} e^{-\pi/2}$；最小值在 $x=0$ 处取得，为 $0$。
提示：注意 $e^{-2\pi} < e^{-3\pi/2}$，因此 $F(2\pi) > F(3\pi/2)$，但两者均小于 $F(\pi/2)$。
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