西安理工大学 2025年数学分析第1题
📝 题目
1、求极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\sin \frac{\pi}{n}}{n^{2}+1}+\frac{\sin \frac{2 \pi}{n}}{n^{2}+2}+\cdots+\frac{\sin \pi}{n^{2}+n}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：将求和表达式写成紧凑形式
将原极限中的和式记为 $S_n$，即
\[
S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{\sin\left(\frac{k\pi}{n}\right)}{n^2 + k}
\]
公式：S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{\sin(k\pi/n)}{n^2+k}
提示：注意求和指标从 $k=1$ 到 $n$，最后一项 $\sin\pi = 0$，但保留形式不影响估计。
步骤 2/6
目标：估计每一项的分母范围
由于 $1 \le k \le n$，有 $n^2 \le n^2+k \le n^2+n$，因此对每个 $k$ 成立
\[
\frac{\sin(k\pi/n)}{n^2+n} \le \frac{\sin(k\pi/n)}{n^2+k} \le \frac{\sin(k\pi/n)}{n^2}
\]
公式：n^2 \le n^2+k \le n^2+n
提示：注意 $\sin(k\pi/n) \ge 0$ 对所有 $k=1,\dots,n$ 成立，所以不等式方向不变。
步骤 3/6
目标：写出下界和上界对应的和式
下界和：
\[
L_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{\sin(k\pi/n)}{n^2+n} = \frac{1}{n^2+n} \sum_{k=1}^{n} \sin\left(\frac{k\pi}{n}\right)
\]
上界和：
\[
U_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{\sin(k\pi/n)}{n^2} = \frac{1}{n^2} \sum_{k=1}^{n} \sin\left(\frac{k\pi}{n}\right)
\]
公式：L_n = \frac{1}{n^2+n}\sum_{k=1}^n \sin(k\pi/n),\quad U_n = \frac{1}{n^2}\sum_{k=1}^n \sin(k\pi/n)
提示：上下界仅分母不同，求和部分相同。
步骤 4/6
目标：计算正弦和式的精确表达式
利用三角恒等式：
\[
\sum_{k=1}^{n} \sin(k\theta) = \frac{\sin\frac{n\theta}{2} \sin\frac{(n+1)\theta}{2}}{\sin\frac{\theta}{2}}
\]
令 $\theta = \pi/n$，则
\[
\sum_{k=1}^{n} \sin\left(\frac{k\pi}{n}\right) = \frac{\sin(\pi/2) \sin\left(\frac{(n+1)\pi}{2n}\right)}{\sin(\pi/(2n))} = \frac{\sin\left(\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2n}\right)}{\sin(\pi/(2n))} = \frac{\cos(\pi/(2n))}{\sin(\pi/(2n))} = \cot\left(\frac{\pi}{2n}\right)
\]
公式：\sum_{k=1}^n \sin(k\pi/n) = \cot\left(\frac{\pi}{2n}\right)
提示：注意 $\sin(\pi/2+\alpha)=\cos\alpha$，化简时小心符号。
步骤 5/6
目标：估计上下界当 $n\to\infty$ 时的渐近行为
当 $n\to\infty$ 时，$\cot(\pi/(2n)) \sim \frac{2n}{\pi}$。因此
\[
L_n = \frac{1}{n^2+n} \cdot \cot\left(\frac{\pi}{2n}\right) \sim \frac{1}{n^2} \cdot \frac{2n}{\pi} = \frac{2}{n\pi} \to 0
\]
\[
U_n = \frac{1}{n^2} \cdot \cot\left(\frac{\pi}{2n}\right) \sim \frac{1}{n^2} \cdot \frac{2n}{\pi} = \frac{2}{n\pi} \to 0
\]
公式：\cot(\pi/(2n)) \sim \frac{2n}{\pi}
提示：渐近等价时注意分母 $n^2+n \sim n^2$，不影响极限为0。
步骤 6/6
目标：应用夹逼定理得出极限
由于 $0 \le L_n \le S_n \le U_n$，且 $\lim_{n\to\infty} L_n = 0$，$\lim_{n\to\infty} U_n = 0$，由夹逼定理得
\[
\lim_{n\to\infty} S_n = 0
\]
公式：\lim_{n\to\infty} S_n = 0
提示：夹逼定理要求不等式成立且上下界极限相等，这里显然满足。
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