西安理工大学 2025年数学分析第3题
📝 题目
3、 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 连续，$\displaystyle (a, b)$ 内可导，且 $\displaystyle f(a) \neq f(b)$ ，试证：$\displaystyle \exists \xi, \eta \in(a, b)$ ，使得 $\displaystyle f^{\prime}(\varphi)=\frac{a+b}{2 \eta} f^{\prime}(\eta)$.
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：分析题目条件与目标等式
已知 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 连续，在 $(a,b)$ 内可导，且 $f(a) \neq f(b)$。要证明存在 $\xi, \eta \in (a,b)$，使得 $f'(\xi) = \frac{a+b}{2\eta} f'(\eta)$。观察等式形式，左边是某点导数，右边是另一点导数乘以系数 $\frac{a+b}{2\eta}$，联想到拉格朗日中值定理和柯西中值定理的组合应用。
提示：注意 $\eta$ 出现在分母，需确保 $\eta \neq 0$，但题目未限制 $a,b$ 符号，可假设 $a,b$ 同号且不为零（否则需补充讨论，但一般默认 $a,b>0$）。
步骤 2/6
目标：应用拉格朗日中值定理得到 $\xi$
由拉格朗日中值定理，存在 $\xi \in (a,b)$，使得 $f'(\xi) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}$。
公式：f'(\xi) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}
提示：拉格朗日中值定理要求函数在闭区间连续、开区间可导，这里满足条件。
步骤 3/6
目标：构造辅助函数并应用柯西中值定理得到 $\eta$
考虑函数 $F(x)=f(x)$ 和 $G(x)=x^2$，它们在 $[a,b]$ 连续，在 $(a,b)$ 可导，且 $G'(x)=2x \neq 0$（假设 $a,b$ 同号且不为零）。由柯西中值定理，存在 $\eta \in (a,b)$，使得 $\frac{f(b)-f(a)}{b^2-a^2} = \frac{f'(\eta)}{2\eta}$。
公式：\frac{f(b)-f(a)}{b^2-a^2} = \frac{f'(\eta)}{2\eta}
提示：柯西中值定理要求分母 $G(b)-G(a) \neq 0$，这里 $b^2-a^2 \neq 0$ 因为 $a \neq b$。
步骤 4/6
目标：将 $f'(\eta)$ 表达式代入目标等式右边
由柯西中值定理结果得 $f'(\eta) = 2\eta \cdot \frac{f(b)-f(a)}{b^2-a^2}$。代入目标等式右边：$\frac{a+b}{2\eta} f'(\eta) = \frac{a+b}{2\eta} \cdot 2\eta \cdot \frac{f(b)-f(a)}{b^2-a^2} = (a+b) \cdot \frac{f(b)-f(a)}{b^2-a^2}$。
公式：\frac{a+b}{2\eta} f'(\eta) = (a+b) \cdot \frac{f(b)-f(a)}{b^2-a^2}
提示：注意 $2\eta$ 约去，简化计算。
步骤 5/6
目标：化简右边并联系左边
由于 $b^2-a^2 = (b-a)(b+a)$，所以 $(a+b) \cdot \frac{f(b)-f(a)}{b^2-a^2} = (a+b) \cdot \frac{f(b)-f(a)}{(b-a)(a+b)} = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}$。而由拉格朗日中值定理，$\frac{f(b)-f(a)}{b-a} = f'(\xi)$，因此等式成立。
公式：\frac{a+b}{2\eta} f'(\eta) = f'(\xi)
提示：这里 $a+b$ 与分母中的 $a+b$ 约去，需确保 $a+b \neq 0$，若 $a+b=0$ 则需单独讨论（但此时等式变为 $f'(\xi)=0$，可由罗尔定理得到，但原题条件 $f(a) \neq f(b)$ 可保证存在性）。
步骤 6/6
目标：总结结论
因此，存在 $\xi$（由拉格朗日中值定理得到）和 $\eta$（由柯西中值定理得到），使得 $f'(\xi) = \frac{a+b}{2\eta} f'(\eta)$ 成立。注意 $\xi$ 和 $\eta$ 可能不同，但题目未要求它们不同，结论成立。
公式：\exists \xi, \eta \in (a,b): f'(\xi) = \frac{a+b}{2\eta} f'(\eta)
提示：若 $a,b$ 异号或包含0，需考虑 $\eta$ 可能为零的情况，此时可改用其他辅助函数（如 $G(x)=x^2+1$）避免分母为零，但一般题目默认 $a,b>0$。
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