西安理工大学 2025年数学分析第6题
📝 题目
6、求幂级数 $\displaystyle \sum_{n 0}^{\infty} \frac{(n+1)^{2}}{n!} x^{n}$ 的收玫域及和函数．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：求收敛半径与收敛域
设通项 $a_n = \frac{(n+1)^2}{n!}$，由比值审敛法：
$$
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+2)^2}{(n+1)!} \cdot \frac{n!}{(n+1)^2} = \frac{(n+2)^2}{(n+1)^3}
$$
当 $n \to \infty$ 时，$\frac{(n+2)^2}{(n+1)^3} \sim \frac{1}{n} \to 0$，因此收敛半径
$$
R = \lim_{n\to\infty} \left| \frac{a_n}{a_{n+1}} \right| = \infty
$$
故收敛域为 $(-\infty, +\infty)$。
公式：$R = \lim_{n\to\infty} \left| \frac{a_n}{a_{n+1}} \right| = \infty$
提示：注意比值审敛法中极限为0时收敛半径为无穷大，不要误判为有限值。
步骤 2/6
目标：拆分幂级数
将系数 $(n+1)^2$ 展开为 $n^2 + 2n + 1$，原级数拆分为三个级数之和：
$$
S(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{n^2}{n!} x^n + 2\sum_{n=0}^\infty \frac{n}{n!} x^n + \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!} x^n
$$
公式：$(n+1)^2 = n^2 + 2n + 1$
提示：拆分时注意每个级数从n=0开始，但n=0时某些项为0，后续可调整起始下标。
步骤 3/6
目标：处理第一个和 $\sum_{n=0}^\infty \frac{n^2}{n!} x^n$
当 $n=0$ 时项为0，从 $n=1$ 开始：
$$
\sum_{n=1}^\infty \frac{n^2}{n!} x^n = \sum_{n=1}^\infty \frac{n(n-1)+n}{n!} x^n = \sum_{n=2}^\infty \frac{x^n}{(n-2)!} + \sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{(n-1)!}
$$
令 $m=n-2$ 得第一项 $x^2 \sum_{m=0}^\infty \frac{x^m}{m!} = x^2 e^x$；令 $k=n-1$ 得第二项 $x \sum_{k=0}^\infty \frac{x^k}{k!} = x e^x$。故第一个和为 $x^2 e^x + x e^x$。
公式：$\sum_{n=2}^\infty \frac{x^n}{(n-2)!} = x^2 e^x$, $\sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{(n-1)!} = x e^x$
提示：利用 $n^2 = n(n-1)+n$ 将级数转化为已知的指数级数形式，注意调整求和下标。
步骤 4/6
目标：处理第二个和 $2\sum_{n=0}^\infty \frac{n}{n!} x^n$
当 $n=0$ 时项为0，从 $n=1$ 开始：
$$
2\sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{(n-1)!} = 2x \sum_{k=0}^\infty \frac{x^k}{k!} = 2x e^x
$$
公式：$2\sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{(n-1)!} = 2x e^x$
提示：注意系数2不要遗漏，且 $n=0$ 项为0可直接忽略。
步骤 5/6
目标：处理第三个和 $\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!} x^n$
直接利用指数函数展开：
$$
\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} = e^x
$$
公式：$e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}$
提示：这是基本展开式，无需变形。
步骤 6/6
目标：合并得到和函数
将三个部分相加：
$$
S(x) = (x^2 e^x + x e^x) + 2x e^x + e^x = e^x (x^2 + x + 2x + 1) = (x^2 + 3x + 1) e^x
$$
公式：$S(x) = (x^2 + 3x + 1) e^x$
提示：合并同类项时注意 $x e^x$ 与 $2x e^x$ 相加得 $3x e^x$。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。