西安理工大学 2025年数学分析第8题
📝 题目
8、 $\displaystyle f(x, y)=x^{2}+y^{2}-12 x+16 y$ 在区域 $\displaystyle \Omega=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leq 25\right\}$ 最大、小值．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：配方化简函数
将函数 $f(x, y) = x^2 + y^2 - 12x + 16y$ 分别对 $x$ 和 $y$ 配方：
对 $x$ 部分：$x^2 - 12x = (x - 6)^2 - 36$；
对 $y$ 部分：$y^2 + 16y = (y + 8)^2 - 64$。
因此 $f(x, y) = (x - 6)^2 + (y + 8)^2 - 100$。
公式：f(x, y) = (x - 6)^2 + (y + 8)^2 - 100
提示：配方后可以看出函数值等于点 $(x,y)$ 到点 $(6,-8)$ 的距离平方减去常数100，便于后续分析。
步骤 2/6
目标：求内部驻点并判断是否在区域内
计算梯度并令其为零：
$\frac{\partial f}{\partial x} = 2x - 12 = 0 \Rightarrow x = 6$，
$\frac{\partial f}{\partial y} = 2y + 16 = 0 \Rightarrow y = -8$。
驻点为 $(6, -8)$，到原点距离 $\sqrt{6^2 + (-8)^2} = 10 > 5$，不在圆盘 $\Omega$ 内部，因此内部无极值点。
公式：\nabla f = (2x-12, 2y+16) = (0,0)
提示：注意检查驻点是否在定义域内，本题驻点在圆外，故最值必在边界上。
步骤 3/6
目标：边界上使用拉格朗日乘数法
边界条件为 $x^2 + y^2 = 25$。构造拉格朗日函数：
$L(x, y, \lambda) = x^2 + y^2 - 12x + 16y + \lambda(25 - x^2 - y^2)$。
求偏导：
$\frac{\partial L}{\partial x} = 2x - 12 - 2\lambda x = 0$，
$\frac{\partial L}{\partial y} = 2y + 16 - 2\lambda y = 0$，
$\frac{\partial L}{\partial \lambda} = 25 - x^2 - y^2 = 0$。
由前两式得 $x(1-\lambda) = 6$，$y(1-\lambda) = -8$。若 $1-\lambda = 0$ 则矛盾，故 $1-\lambda \neq 0$，解得 $x = \frac{6}{1-\lambda}$，$y = \frac{-8}{1-\lambda}$。
公式：x = \frac{6}{1-\lambda}, \quad y = \frac{-8}{1-\lambda}
提示：注意排除 $1-\lambda=0$ 的情况，否则方程无解。
步骤 4/6
目标：代入约束条件求解参数
将 $x, y$ 代入 $x^2 + y^2 = 25$：
$\frac{36 + 64}{(1-\lambda)^2} = 25 \Rightarrow \frac{100}{(1-\lambda)^2} = 25$，
解得 $(1-\lambda)^2 = 4$，即 $1-\lambda = 2$ 或 $1-\lambda = -2$。
情况1：$1-\lambda = 2$，则 $x = 3$，$y = -4$；
情况2：$1-\lambda = -2$，则 $x = -3$，$y = 4$。
公式：(1-\lambda)^2 = 4 \Rightarrow \lambda = -1 \text{ 或 } \lambda = 3
提示：计算时注意符号，代入后得到两个候选点。
步骤 5/6
目标：计算候选点的函数值并比较
计算函数值：
在点 $(3, -4)$：
$f(3, -4) = 3^2 + (-4)^2 - 12\cdot 3 + 16\cdot(-4) = 9 + 16 - 36 - 64 = -75$。
或用配方形式：$(3-6)^2 + (-4+8)^2 - 100 = 9 + 16 - 100 = -75$。
在点 $(-3, 4)$：
$f(-3, 4) = (-3)^2 + 4^2 - 12\cdot(-3) + 16\cdot 4 = 9 + 16 + 36 + 64 = 125$。
或用配方形式：$(-3-6)^2 + (4+8)^2 - 100 = 81 + 144 - 100 = 125$。
由于内部无其他极值点，这两个点即为最值候选。
公式：f(3,-4) = -75, \quad f(-3,4) = 125
提示：注意计算时避免符号错误，可借助配方形式验证。
步骤 6/6
目标：得出结论
比较两个函数值：$-75 < 125$，因此最小值为 $-75$，在点 $(3, -4)$ 处取得；最大值为 $125$，在点 $(-3, 4)$ 处取得。
公式：\min_{\Omega} f = -75, \quad \max_{\Omega} f = 125
提示：闭区域上连续函数必有最值，本题最值均在边界上取得。
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