郑州大学 2026年数学分析第2题
📝 题目
2．（10 分）设 $\displaystyle f(x)=\int_{\sqrt{\frac{\pi}{2}}}^{\sqrt{x}} \frac{1}{1+\cot u^{2}} \mathrm{~d} u$ ，求积分 $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{f(x)}{\sqrt{x}} \mathrm{~d} x$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：化简被积函数中的表达式
将 $\frac{1}{1+\cot(u^2)}$ 化简为 $\frac{\sin(u^2)}{\sin(u^2)+\cos(u^2)}$。因为 $\cot(u^2)=\frac{\cos(u^2)}{\sin(u^2)}$，所以 $\frac{1}{1+\cot(u^2)}=\frac{1}{1+\frac{\cos(u^2)}{\sin(u^2)}}=\frac{\sin(u^2)}{\sin(u^2)+\cos(u^2)}$。
公式：\frac{1}{1+\cot(u^2)} = \frac{\sin(u^2)}{\sin(u^2)+\cos(u^2)}
提示：注意 $\cot u^2$ 应理解为 $\cot(u^2)$，而不是 $(\cot u)^2$。
步骤 2/5
目标：改写积分并交换积分次序
原积分 $I=\int_{0}^{\pi/2} \frac{f(x)}{\sqrt{x}} dx$，其中 $f(x)=\int_{\sqrt{\pi/2}}^{\sqrt{x}} \frac{\sin(u^2)}{\sin(u^2)+\cos(u^2)} du$。当 $x<\pi/2$ 时，$\sqrt{x}<\sqrt{\pi/2}$，积分上下限颠倒，故 $f(x)=-\int_{\sqrt{x}}^{\sqrt{\pi/2}} g(u) du$，其中 $g(u)=\frac{\sin(u^2)}{\sin(u^2)+\cos(u^2)}$。于是 $I=-\int_{0}^{\pi/2} \frac{1}{\sqrt{x}} \int_{\sqrt{x}}^{\sqrt{\pi/2}} g(u) du dx$。交换积分次序：$u$ 从 $0$ 到 $\sqrt{\pi/2}$，$x$ 从 $0$ 到 $u^2$，得 $I=-\int_{0}^{\sqrt{\pi/2}} g(u) \left(\int_{0}^{u^2} \frac{1}{\sqrt{x}} dx\right) du$。
公式：I = -\int_{0}^{\sqrt{\pi/2}} g(u) \left(\int_{0}^{u^2} x^{-1/2} dx\right) du
提示：交换积分次序时注意积分区域的边界对应关系：$\sqrt{x} \le u$ 等价于 $x \le u^2$。
步骤 3/5
目标：计算内层积分
计算 $\int_{0}^{u^2} x^{-1/2} dx = [2x^{1/2}]_{0}^{u^2} = 2u$。代入得 $I = -\int_{0}^{\sqrt{\pi/2}} g(u) \cdot 2u du = -2 \int_{0}^{\sqrt{\pi/2}} u \cdot \frac{\sin(u^2)}{\sin(u^2)+\cos(u^2)} du$。
公式：\int_{0}^{u^2} x^{-1/2} dx = 2u
提示：注意 $\sqrt{x}$ 的原函数是 $2\sqrt{x}$。
步骤 4/5
目标：变量替换简化积分
令 $t = u^2$，则 $dt = 2u du$，即 $u du = \frac{1}{2} dt$。当 $u=0$ 时 $t=0$，当 $u=\sqrt{\pi/2}$ 时 $t=\pi/2$。代入得 $I = -2 \int_{0}^{\pi/2} \frac{\sin t}{\sin t + \cos t} \cdot \frac{1}{2} dt = -\int_{0}^{\pi/2} \frac{\sin t}{\sin t + \cos t} dt$。
公式：I = -\int_{0}^{\pi/2} \frac{\sin t}{\sin t + \cos t} dt
提示：换元后注意积分限的变化，$u$ 从 $0$ 到 $\sqrt{\pi/2}$ 对应 $t$ 从 $0$ 到 $\pi/2$。
步骤 5/5
目标：计算定积分
令 $J = \int_{0}^{\pi/2} \frac{\sin t}{\sin t + \cos t} dt$，$K = \int_{0}^{\pi/2} \frac{\cos t}{\sin t + \cos t} dt$。则 $J+K = \int_{0}^{\pi/2} 1 dt = \frac{\pi}{2}$。作变量替换 $t \to \frac{\pi}{2} - t$，可得 $J = K$。因此 $2J = \frac{\pi}{2}$，$J = \frac{\pi}{4}$。故 $I = -J = -\frac{\pi}{4}$。
公式：J = \frac{\pi}{4}, \quad I = -\frac{\pi}{4}
提示：利用对称性 $\sin(\frac{\pi}{2}-t)=\cos t$ 和 $\cos(\frac{\pi}{2}-t)=\sin t$ 可快速得到 $J=K$。
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