郑州大学 2026年数学分析第4题
📝 题目
4．（10 分）已知曲线积分 $\displaystyle \int_{L} \frac{1}{\varphi(x)+y^{2}}(x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x)=A$（常数），其中 $\displaystyle \varphi(x)$ 是可导函数且 $\displaystyle \varphi(1)=1 . L$ 是绕原点 $\displaystyle (0,0)$ 一周的任意正向闭曲线，试求 $\displaystyle \varphi(x)$ 及 $A$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：将曲线积分写成标准形式，并识别出P和Q
给定曲线积分 $\int_{L} \frac{1}{\varphi(x)+y^{2}}(x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x)$，将其改写为 $\int_L P\,dx + Q\,dy$ 的形式，其中 $P = -\frac{y}{\varphi(x)+y^2}$，$Q = \frac{x}{\varphi(x)+y^2}$。
公式：$P = -\frac{y}{\varphi(x)+y^2}, \quad Q = \frac{x}{\varphi(x)+y^2}$
提示：注意 $x\,dy - y\,dx$ 对应 $P\,dx + Q\,dy$ 时，$P$ 是 $dx$ 的系数，$Q$ 是 $dy$ 的系数，因此 $P = -y/(\varphi(x)+y^2)$，$Q = x/(\varphi(x)+y^2)$。
步骤 2/5
目标：应用格林公式，计算偏导数之差
格林公式：$\oint_L P\,dx+Q\,dy = \iint_D \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) dx\,dy$。先计算 $\frac{\partial Q}{\partial x}$：令 $D = \varphi(x)+y^2$，则 $Q = x D^{-1}$，$\frac{\partial Q}{\partial x} = D^{-1} + x \cdot (-1) D^{-2} \cdot \varphi'(x) = \frac{1}{\varphi(x)+y^2} - \frac{x \varphi'(x)}{(\varphi(x)+y^2)^2}$。再计算 $\frac{\partial P}{\partial y}$：$P = -y D^{-1}$，$\frac{\partial P}{\partial y} = -\frac{1 \cdot D - y \cdot 2y}{D^2} = -\frac{\varphi(x)+y^2 - 2y^2}{(\varphi(x)+y^2)^2} = -\frac{\varphi(x)-y^2}{(\varphi(x)+y^2)^2}$。于是 $\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = \left[ \frac{1}{D} - \frac{x\varphi'(x)}{D^2} \right] - \left[ -\frac{\varphi(x)-y^2}{D^2} \right] = \frac{1}{D} - \frac{x\varphi'(x)}{D^2} + \frac{\varphi(x)-y^2}{D^2}$。将 $\frac{1}{D} = \frac{\varphi(x)+y^2}{D^2}$ 代入，得 $\frac{\varphi(x)+y^2 - x\varphi'(x) + \varphi(x)-y^2}{D^2} = \frac{2\varphi(x) - x\varphi'(x)}{(\varphi(x)+y^2)^2}$。
公式：$\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{2\varphi(x) - x\varphi'(x)}{(\varphi(x)+y^2)^2}$
提示：计算 $\frac{\partial P}{\partial y}$ 时，注意 $\varphi(x)$ 视为常数，分母求导要小心符号；合并项时利用 $D = \varphi(x)+y^2$ 通分。
步骤 3/5
目标：利用积分与路径无关的条件，导出微分方程
题目说对于绕原点一周的任意正向闭曲线 $L$，积分恒为常数 $A$。这意味着在除去原点的区域中，被积表达式是闭的（旋度为零），即对于任何不包含原点的闭曲线，积分为0；对于绕原点一周的闭曲线，积分相同。因此，在 $(x,y) \neq (0,0)$ 时，应有 $\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 0$。由于分母 $(\varphi(x)+y^2)^2$ 在原点处可能为0，但其他地方非零，故令分子为零：$2\varphi(x) - x\varphi'(x) = 0$。
公式：$2\varphi(x) - x\varphi'(x) = 0$
提示：注意条件“绕原点一周的任意正向闭曲线”意味着积分值只依赖于绕数，与路径形状无关，这等价于旋度在除原点外处处为零。
步骤 4/5
目标：解微分方程，并利用初始条件确定 φ(x)
方程 $2\varphi(x) - x\varphi'(x) = 0$ 可化为 $x\varphi'(x) = 2\varphi(x)$，即 $\frac{\varphi'(x)}{\varphi(x)} = \frac{2}{x}$。两边积分得 $\ln|\varphi(x)| = 2\ln|x| + C$，即 $\varphi(x) = C_1 x^2$。利用条件 $\varphi(1)=1$，代入得 $1 = C_1 \cdot 1^2$，故 $C_1=1$，所以 $\varphi(x) = x^2$。
公式：$\varphi(x) = x^2$
提示：解微分方程时注意分离变量，积分常数用初始条件确定；$\varphi(x)$ 应为正函数以保证分母不为零。
步骤 5/5
目标：代入 φ(x) 并计算常数 A
将 $\varphi(x)=x^2$ 代入原积分，得 $P = -\frac{y}{x^2+y^2}$，$Q = \frac{x}{x^2+y^2}$。取 $L$ 为单位圆 $x=\cos\theta, y=\sin\theta$，则 $x\,dy - y\,dx = \cos\theta \cdot \cos\theta\,d\theta - \sin\theta \cdot (-\sin\theta)\,d\theta = (\cos^2\theta+\sin^2\theta)\,d\theta = d\theta$，分母 $x^2+y^2=1$，故被积函数为 $d\theta$。积分一周得 $A = \int_0^{2\pi} d\theta = 2\pi$。
公式：$A = \int_0^{2\pi} d\theta = 2\pi$
提示：选取单位圆计算最简单，注意 $x\,dy - y\,dx$ 在极坐标下等于 $r^2 d\theta$，当 $r=1$ 时即为 $d\theta$。
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