陕西师范大学 2024年数学分析第10题

已知 \( f(x) \) 定义在闭区间 \([a,b]\) 上，且所有间断点都是可去间断点。这意味着：对于任意 \( x_0 \in [a,b] \)，若 \( f \) 在 \( x_0 \) 不连续，则极限 \(\lim_{x\to x_0} f(x)\) 存在且有限，只是可能不等于 \( f(x_0) \)。

对于任意一点 \( x \in [a,b] \)，由于极限 \(\lim_{t\to x} f(t)\) 存在且有限（若为连续点，极限就是函数值本身；若为可去间断点，极限也存在），取 \(\epsilon=1\)，则存在 \(\delta_x>0\)，使得当 \( t \in (x-\delta_x, x+\delta_x) \cap [a,b] \) 时，有 \(|f(t)-L| < 1\)，其中 \(L=\lim_{t\to x} f(t)\)。从而 \(|f(t)| \le |L|+1\)。令 \(M_x = |L|+1\)，则在邻域 \(U_x = (x-\delta_x, x+\delta_x)\) 内，\(|f(t)| \le M_x\)。

所有这样的开区间 \(\{U_x \mid x \in [a,b]\}\) 构成闭区间 \([a,b]\) 的一个开覆盖。由有限覆盖定理（Heine-Borel定理），存在有限个开区间 \(U_{x_1}, U_{x_2}, \dots, U_{x_n}\) 仍然覆盖 \([a,b]\)。

在每个 \(U_{x_i}\) 上，函数有界，界为 \(M_{x_i}\)。取 \(M = \max\{ M_{x_1}, M_{x_2}, \dots, M_{x_n} \}\)。由于有限个区间覆盖了整个 \([a,b]\)，对任意 \( t \in [a,b] \)，它必属于某个 \(U_{x_i}\)，从而 \(|f(t)| \le M_{x_i} \le M\)。所以函数在 \([a,b]\) 上以 \(M\) 为界。

因此，\( f(x) \) 在 \([a,b]\) 上有界。证毕。