陕西师范大学 2024年数学分析第7题
📝 题目
7．（15 分）设 $f$ 在闭区间 $\displaystyle [a, b]$ 上有定义，且对任意的 $\displaystyle x, y \in[a, b]$ ，有 $\displaystyle |f(x)-f(y)| \leq 2(x-y)^{2}$ ，证明：$\displaystyle f(x)$在 $\displaystyle [a, b]$ 上为常值函数．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：利用条件不等式推导差商估计
对于任意固定的 $x_0 \in [a,b]$ 和任意 $x \neq x_0$，由条件 $|f(x)-f(y)| \leq 2(x-y)^2$ 取 $y=x_0$ 得：
\[
|f(x)-f(x_0)| \leq 2(x-x_0)^2
\]
两边同时除以 $|x-x_0|$（注意 $x \neq x_0$），得到：
\[
\left|\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\right| \leq 2|x-x_0|
\]
公式：\left|\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\right| \leq 2|x-x_0|
提示：注意绝对值处理：$(x-x_0)^2 = |x-x_0|^2$，因此除以 $|x-x_0|$ 后右边为 $2|x-x_0|$。
步骤 2/4
目标：取极限证明导数存在且为零
令 $x \to x_0$，则右边 $2|x-x_0| \to 0$。由夹逼定理，左边差商的绝对值趋于 $0$，因此：
\[
\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} = 0
\]
这说明 $f$ 在 $x_0$ 处可导，且导数为 $0$。由于 $x_0$ 是 $[a,b]$ 上任意一点，故 $f'(x)=0$ 对所有 $x \in [a,b]$ 成立。
公式：\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} = 0
提示：夹逼定理的使用前提是差商的绝对值被一个趋于0的量控制，这里满足条件。
步骤 3/4
目标：由导数恒为零推出函数为常值
在闭区间 $[a,b]$ 上，$f$ 处处可导且导数为 $0$。对任意两点 $x_1, x_2 \in [a,b]$，不妨设 $x_1 < x_2$，由拉格朗日中值定理，存在 $\xi \in (x_1, x_2)$ 使得：
\[
f(x_2)-f(x_1) = f'(\xi)(x_2-x_1) = 0 \cdot (x_2-x_1) = 0
\]
因此 $f(x_2)=f(x_1)$，即 $f$ 在 $[a,b]$ 上为常值函数。
公式：f(x_2)-f(x_1) = f'(\xi)(x_2-x_1) = 0
提示：拉格朗日中值定理要求函数在闭区间连续、开区间可导。这里由导数存在可推出连续性，满足条件。
步骤 4/4
目标：总结结论
综合以上步骤，我们证明了：对任意 $x_0 \in [a,b]$，$f'(x_0)=0$，从而 $f$ 在 $[a,b]$ 上为常值函数。
公式：f(x) \equiv C, \quad \forall x \in [a,b]
提示：注意题目未事先假定可导，但条件本身蕴含了可导性，这是证明的关键。
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